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第十一讲 鸡兔同笼问题


   作者:蓝忠诚 发表时间-10 :35:35  阅读( 728 )| 评论( 16 )

第十一讲 鸡兔同笼问题


  例1 (古典题)鸡兔同笼,头共46,足共128,鸡兔各几只?


  分析 如果 46只都是兔,一共应有 4×46=184只脚,这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔,就要减少4-2=2(只)脚.那么,46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢?显然,56÷2=28,只要用28只鸡去置换28只兔就行了.所以,鸡的只数就是28,兔的只数是46-28=18。


  解:①鸡有多少只?


  (4×6-128)÷(4-2)


  =(184-128)÷2


  =56÷2


  =28(只)


  ②免有多少只?


  46-28=18(只)


  答:鸡有28只,免有18只。


  我们来总结一下这道题的解题思路:先假设它们全是兔.于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚,把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较,看相差多少.每差2只脚就说明有一只鸡;将所差的脚数除以2,就可以算出共有多少只鸡.我们称这种解题方法为假设法.概括起来,解鸡兔同笼问题的基本关系式是:


  鸡数=(每只兔脚数× 兔总数- 实际脚数)÷(每只兔子脚数-每只鸡的脚数)


  兔数=鸡兔总数-鸡数


  当然,也可以先假设全是鸡。


  例2 鸡与兔共有100只,鸡的脚比兔的脚多80只,问鸡与兔各多少只?


  分析 这个例题与前面例题是有区别的,没有给出它们脚数的总和,而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢?


  假设100只全是鸡,那么脚的总数是2×100=200(只)这时兔的脚数为0,鸡脚比兔脚多200只,而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此,鸡脚与兔脚的差数比已知多了(200-80)=120(只),这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡,鸡的脚数将增加2只,兔的脚数减少4只.那么,鸡脚与兔脚的差数增加(2+4)=6(只),所以换成鸡的兔子有120÷6=20(只).有鸡(100-20)=80(只)。


  解:(2×100-80)÷(2+4)=20(只)。


  100-20=80(只)。


  答:鸡与兔分别有80只和20只。


  例3 红英小学三年级有3个班共135人,二班比一班多5人,三班比二班少7人,三个班各有多少人?


  分析1 我们设想,如果条件中三个班人数同样多,那么,要求每班有多少人就很容易了.由此得到启示,是否可以通过假设三个班人数同样多来分析求解。


  结合下图可以想,假设二班、三班人数和一班人数相同,以一班为标准,则二班人数要比实际人数少5人.三班人数要比实际人数多7-5=2(人).那么,请你算一算,假设二班、三班人数和一班人数同样多,三个班总人数应该是多少?







  解法1:


  一班:[135-5+(7-5)]÷3=132÷3


  =44(人)


  二班:44+5=49(人)


  三班:49-7=42(人)


  答:三年级一班、 二班、三班分别有44人、 49人和 42人。


  分析2 假设一、三班人数和二班人数同样多,那么,一班人数比实际要多5人,而三班要比实际人数多7人.这时的总人数又该是多少?


  解法2:(135+ 5+ 7)÷3


  =147÷3


  =49(人)


  49-5=44(人),49-7=42(人)


  答:三年级一班、二班、三班分别有44人、49人和42人。


  想一想:根据解法1、解法2的思路,还可以怎样假设?怎样求解?


  例4 刘老师带了41名同学去北海公园划船,共租了10条船.每条大船坐6人,每条小船坐4人,问大船、小船各租几条?


  分析 我们分步来考虑:


  ①假设租的 10条船都是大船,那么船上应该坐 6×10= 60(人)。


  ②假设后的总人数比实际人数多了 60-(41+1)=18(人),多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人。


  ③一条小船当成大船多出2人,多出的18人是把18÷2=9(条)小船当成大船。


  解:[6×10-(41+1)÷(6-4)


  =
18÷2=9(条)


  10-9=1(条)


  答:有9条小船,1条大船。


  例5 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只,共有腿118条,翅膀20对(蜘蛛8条腿;蜻蜓6条腿,两对翅膀;蝉6条腿,一对翅膀),求蜻蜓有多少只?


  分析 这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点,蜻蜓、蝉都是6条腿,只有蜘蛛8条腿.因此,可先从腿数入手,求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿,则总腿数为
6×18=108(条),所差 118-108=10(条),必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以,应有(118-108)÷(8-6)=5(只)蜘蛛.这样剩下的18-5=13(只)便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手,假设13只都是蝉,则总翅膀数1×13=13(对),比实际数少 20-13=7(对),这是由于蜻蜓有两对翅膀,而我们只按一对翅膀计算所差,这样蜻蜓只数可求7÷(2-1)=7(只).


  解:①假设蜘蛛也是6条腿,三种动物共有多少条腿?


  6×18=108(条)


  ②有蜘蛛多少只?


  (118-108)÷(8-6)=5(只)


  ③蜻蜒、蝉共有多少只?


  18-5=13(只)


  ④假设蜻蜒也是一对翅膀,共有多少对翅膀?1×13=13(对)


  ⑤蜻蜒多少只?


  (20-13)÷ 2-1)= 7(只)


  答:蜻蜒有7只.


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  • 评论

    好题
     
     詹真纯  2017-08-24 07:03:25   219.133.40.14

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