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第十四讲 典型试题分析(之三)


   作者:蓝忠诚 发表时间-12 :2:54  阅读( 35 )| 评论( 0 )

第十四讲 典型试题分析(之三)


  例11 有70个数排成一排,除两头两个数外,每个数的3倍都恰好等于它两边两个数之和,已知前面两个数是0和1,问最后一个数除以6的余数是多少?


  分析直接求第70个数除以6的余数不容易,先求它除以2和除以3的余数.


  解:设最后一个数为x,先求x除以2的余数,列出下表观察规律:


 


  我们发现这列数的规律是:


  偶,奇,奇,偶,奇,奇,…


  这个规律是可靠的,如果一个数左边两个数都是奇数,那么这个数就是奇数的3倍减去一个奇数,所以这个数一定是偶数,同样可以分析出,如果一个数左边两个数一奇一偶,那么这个数一定是奇数.


  因为70÷3余1,所以x是偶数,下面来求x除以3的余数,列出下表观察一下这列数除以3余数的规律:



  因为每个数的3倍是它两边两个数之和,所以间隔一个数的两个数之和一定是3的倍数.所以不难分析出这列数除以3的余数规律是:


  0,1,0,2,0,1,0,2,…


  又由于70÷4余2,所以第70个数x除以3的余数为1.


  我们已经知道x是一个除以3余1的偶数,所以x除以6应该余4.


  我们还可以用带余除式推出这个结论,因为x除以3余1,所以x可以写成下式:


  x=3k+1 (k是自然数)


  又因为x是偶数,所以k应是一个奇数,也就是说k被2除余1,写成带余除式就是:


  k=2m+1 (m是自然数)


  综合两个式子就得到


  x=3(2m+1)+1=6m+3+1=6m+4


  因此,x除以6余4.


  说明:本题的解法告诉我们,如果已知一个数除以两个数后各自的余数,那么应如何去求它除以这两个数的乘积的余数.作为练习请同学们完成下题.


  已知某数除以3余2,除以4余3,求这个数除以12的余数是多少?


  例12 43位同学,他们身上带的钱从8分到5角,钱数互不相同,每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片,画片只有两种,3分一张和5分一张,每人都尽量多买5分一张的画片,问他们共买了多少张3分的画片?


  分析本题实际上是要将8到50的所有自然数表示成若干个3与若干个5的和,其中5的个数要尽可能多.因为求的是3的个数,所以只要求出8至12的表示中有多少个3即可.


  解:我们有:


  8=5+3


  9=3+3+3


  10=5+5


  11=5+3+3


  12=3+3+3+3.


  下面的表示式中3的个数不会再增加,只要在前面的表示中加5就可以了,例如.


  13=8+5=5+5+3


  14=9+5=3+3+3+5


  等等


  前五个式子中3的个数为:


  1+3+0+2+4=10.


  因为43÷5=8余3,所以3的总个数为:


  10×8+1+3+0=84.


  答:3分的画片共买了84张.


  思考:


  ①本题中如果要求5分画片共买多少张应怎样做?


  ②如果本题改为让3分画片尽可能多,求5分画片共有多少张,应怎样做?


  例13有十个人各拿一只提桶同时到水龙头前排队打水.设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟,注满第二个人的桶需要2分钟,…,如此下去.问:


  ①当只有一个水龙头时,应如何安排这十个人的次序,使他们总的费时为最少?这时间等于多少分钟?


  ②当只有两个水龙头可用时,应如何安排这十个人的次序,使他们总的花费时间为最少?这时间等于多少分钟?


  分析①我们用A1,A2,…,A9,A10分别表示第一,第二,…,第九,第十个人,先考虑只有A1、A2两个人的情形.


  如果A1在前,A2在后,总共花费的时间为:


  1×2+2×1=4(分钟).


  如果A2在前,A1在后,总共花费的时间为:


  2×2+1×1=5(分钟).


  因此,对两个人的情况,提小桶的人在前,提大桶的人在后,总共花费的时间最少,由此就不难知道十个人如何排列,总费时最少.


  ②先考虑只有A1,A2,A3,A4四个人的情况.这时候可能的排列方法有以下几种:


  


  总费时=1×1+2×3+3×2+4×1=17(分钟)


  


  总费时=2×1+1×3+3×2+4×1=15(分钟)


  


  总费时=3×1+1×3+2×2+4×1=14(分钟)


  


  总费时=4×1+1×3+2×2+3×1=14(分钟)


  


  总费时=1×2+2×1+3×2+4×1=14(分钟)


  


  总费时=1×2+3×1+2×2+4×1=13(分钟)


  通过比较发现,第6种方法最合理(甲龙头A1A4、乙龙头A2A3费时与第6种方法一样多),下面就来分析十个人的排列方法.


  解:①根据两个人的排队顺序规律,不难推测出多于2人的排队方法应是从A1开始,按由小到大的顺序排队.因为在多于2人的排队方法中,如有二人不是从小到大排列,只要交换这二人的位置,总费时必然减少,所以本题十个人的排队方法为:


  A1,A2,…,A9,A10


  总共花费时间为:


  1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1


  =(1×10+2×9+3×8+4×7+5×6)×2


  =220(分钟).


  ②根据四个人的排队规律,不难分析出十个人的排队规律为:


  甲龙头:A1,A3,A5,A7,A9


  乙龙头:A2,A4,A6,A8,A10


  总共花费时间:


  1×5+3×4+5×3+7×2+9×1+2×5+4×4+6×3+8×2+10×1


  =125(分钟).


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