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自测试题(二)解答


   作者:蓝忠诚 发表时间-17 :26:23  阅读( 23 )| 评论( 0 )

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自测试题(二)解答

  一、填空题:

 

   

 

   

   

 

 

  利用法则求解:

  

  5.2

  因为1997=4×499+1,所以21997=24×499+1.因为21997与21的个位数字相同,而21的个位数字就是2,所以21997的个位数字是2.

  6.8712

  因为既是质数又是偶数的数就是2,所以个位数字是2,而千位与个位数字之和为10,故千位数字是8.又知道这个四位数能被72整除,72=8×9,8、9互质,根据被9整除的数的特征可知,这个四位数的百位数字与十位数字之和是8.8=1+7=2+6=3+5=4+4,这些情况组成的两位数有17,71,62,26,35,53,44.又因为剩下的那个两位数是质数,所以只能考虑17,71,53.再根据一个数能被8整除的特征知:172,532不符合要求,所求四位数是8712.

  7.301

  设这筐鸡蛋至少有a个,则a-1能被2整除,a-1能被3整除,a+3能被4整除,a+4能被5整除,a-1能被6整除,a能被7整除.

  很容易看出,7这个数减1后,既能被2整除,又能被3整除,还能被6整除,7还能被7整除.但7加3不能被4整除.换句话说,7,13,19,25,31等数(即7+6n,n是自然数)都能满足下面三个条件,减1后能被2整除,减1后能被3整除,减1后能被6整除.另外当n是7的倍数时,7+6n能被7整除,这一来满足上述四个条件的数为7,49,91,133,175,217,259,301,343,….这些数中,91,301,…,加4后能被5整除.但91加3不能被4整除,而301加3能被4整除.

  所以这筐鸡蛋至少有301个.

  8.62和93或31和186.

  设这两个数为a、b,则有ab=5766,(a,b)=31.

  因为(a,b)=31,所以有a=31q1,b=31q2,q1、q2互质.

  又因为ab=5766,所以31q1×31q2=5766,得到q1q2=6.

  由于6=1×6=2×3,因此

  当q1、q2分别取1和6时,a、b分别为31和186.

  当q1、q2分别取2和3时,a、b分别为62和93,

  9.1191916

  设三个□内所填数字分别为a、b、c,因为44=4×11,4、11互质,

整除.



  (a+9+9+2)-(1+b+1)=18+a-b.

  因为18=11+7,因此7+a-b能被11整除.当a、b是数字时,7+a-b≤16,小于16的11的倍数有两个:0和11.

 



  (a+9+9+6)-(1+b+1)=22+a-b

  因此22+a-b能被11整除.当a、b是数字时,13≤22+a-b≤31.13至31之间11的倍数只有1个:22.

  当22+a-b=22时,a=b,此时a=b=0(因为a≠0,舍),a=b=1,a=b=2,a=b=3,a=b=4,a=b=5,a=b=6,a=b=7,a=b=8,a=b=9.

  所以满足要求的七位数有:1191916,2192916,3193916,4194916,5195916,6196916,7197916,8198916,9199916,4190912,5191912,6192912,7193912,8194912,9195912,1198912,2199912.其中最小的一个是1191916.

  10.3分

  因为每一单项的总分是5+3+2+1=11(分),故四项比赛的总分为11×4=44(分).而第一、三名共获17+11=28(分),则第二、四名共获44-28=16(分).由于第四名至少获4分(每一单项均得1分),而第二名的总分又要大于11分,所以只能是第二名获12分,第四名获4分.

  下面确定每一人的各项得分.由每人的总分可以推出:

  (1)第四名各项均得1分.

  (2)第一名总分17分,他必须有三项得5分,否则不能达到17分.由于跳高得分最低,所以跳高这项得2分.

  (3)第三名总分11分,他只能有两种得分情况:(3,3,3,2)和(2,2,2,5).由于跳高得分最高,所以跳高这项得5分,其他各项得2分.

  至此可知,第二名各项均得3分.

  故总分第二名的铅球这项得3分.

  二、解答题:

  1.216.

   

  

  2.奇数

  从题目中可以看出,参赛的任一名同学的得分由四部分组成.一是基础分15分,二是答对题的分数,三是不答题的分数,四是答错题应减去的分数.不管答对多少题,我们总可以分两种情况讨论.

  一是答对题的题目是奇数,因为每题得5分,奇数乘以奇数的积还是奇数,所以答对题的得分是个奇数.又因为答对题数是奇数,竞赛题总共30题,所以不答和答错这两类题目数的和也应是个奇数.根据不答记1分,答错减1分,有不论不答题目数是奇数还是偶数,答错题目数是偶数还是奇数,根据奇数与偶数的和(或差)是奇数这一结论,这两项分数的差一定是个奇数,三个奇数的和是奇数.这时得分数是奇数.

  二是答对题的数目是偶数,30是偶数,所以不答和答错这两类题目数的和也应是个偶数(根据偶数减偶数,差是偶数).这时不答题目数与答错题目数同时是偶数或同时是奇数,而且这两个题目数就分别表示不答的得分数与答错应减去的分数,它俩的差肯定是个偶数.这时答对题目所得的分数也是个偶数.但15是个奇数,根据偶数加偶数和是偶数,偶数加奇数和是奇数的结论,可知此时学生的得分也是个奇数.

  这说明不论在什么情况下,任一参赛学生的得分总是奇数.而1997也是个奇数,根据单数个奇数的和还是奇数这一性质知,所有参加竞赛同学最后得分的总和是奇数.

  3.222312,555321,555324

  为方便起见,用a表示六位数中左边三个相同的数字,再用b、c、d分别表示右边三个连续的自然数.根据题中条件有:



  化简得: 3a+b=9c

  因为a、b、c全是数字,且3、9能被3整除,所以b应是3的倍数.故b=3或6或9.



  a=2时,c=1.因为b、c、d是连续的三个自然数,所以d=2,这时六位数为222312.

  a=5时,c=2.因为b、c、d是三个连续的自然数,所以d=1或4,这时六位数为555321或555324.

  a=8时,c=3,b=c=3,不符合题目要求,无解.



  a=1时,c=1,这时b、c、d无法构成三个连续的自然数,无解.

  a=4时,c=2,这时b、c、d也无法构成三个连续的自然数,无解.

  a=7时,c=3,这时b、c、d也无法构成三个连续的自然数,无解.



  a=3时,c=2,这时b、c、d无法构成三个连续的自然数,无解.

  a=6或9时,b、c、d均无法构成三个连续的自然数,无解.

  所以这个电话号码可以是222312,555321,555324.

  4.甲获胜的策略是:

  (1)甲先将10填入右图中的B格;

  (2)无论乙怎样填,甲第二次只要将1或2填入A或C,必胜.



  因为四个角内的数字是甲、乙两人共有的,所以胜负只与放在A、B、C、D四格内的数字有关.甲要想获胜,必须尽可能地把小数填入A、C,将大数填入B、D.因为1+10>2+8,因此甲应抢先将最大数10送给乙,填入B格.

  若乙将1填入D,甲就将2填入A,这样无论C填入何值,A、C之和都小于B、D之和.

  若乙将8填入A,甲就将1或2填入C,这样无论D填入何值,A、C之和都小于B、D之和.

 


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