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三、数字问题


   作者:蓝忠诚 发表时间-11 :29:20  阅读( 26 )| 评论( 0 )

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三、数字问题

  本讲将介绍有关数字的一些问题。

例1 一本小说的页码,在印刷时必须用1989个铅字,在这一本书的页码中数字1出现多少次?

分析与解 要想求出在这本书的页码中数字1出现多少次,先要求出这本书共有多少页.已知印刷时必须用1989个铅字,又已知页码为一位数共有9页,页码为两位数共有90页,页码为三位数共有900页,就可求出这本书共有多少页.又因为每连续10个数,在个位上就出现一次1,再根据所求页数就可解答此题。

  页码为一位数共有9页,用9个铅字;

  页码为二位数共有90页,用180个铅字;

  页码为三位数,还需1989-180-9=1800(个)铅字,因此还需印1800÷3=600(页)。

  这样,本书共有600+90+9=699(页)。

  因为每连续10个数,在个位上就出现一次1,所以个位上出现1的数共有700÷10=70(次);

  十位上出现1的数每100个有10个,共有700÷100×10=70(次);

  百位上出现1的数有100个,这样总共出现1的次数是70+70+100=240(次)。

  答:在这本书的页码中数字1出现240次。

例2 把23个数:3,33,333,…,

相加,则所得的和的末四位数是多少?

  




容易了。

  

  

  

  根据等比数列前n项和公式可知

  

  

  

  

  =370370…037037-8

  =370370…037029

  因此S的末四位数字是7029。

例3 自然数按从小到大的顺序排成螺旋形,在2处拐第一个弯,在3处拐第二个弯,在5处拐第三个弯……问拐第20个弯的地方是哪个数?

分析与解 观察正方形数字阵,先将拐弯处的数从小到大排列起来:2,3,5,7,10,13,17,21,26,….仔细观察这些数:第一个数是起点1加1,第二个数是第一个数加1,第三个数



  是第二个数加2,第四个数是第三个数加2,后面的四个数都可以用各自前面的那个数分别经过加3、加3、加4、加4得到,由此推想出,再往后就要加5、加5、加6、加6,…,可以发现一个规律:

  求第二个拐弯处的数:1+1×2;

  求第四个拐弯处的数:1+(1+2)×2;

  求第六个拐弯处的数:1+(1+2+3)×2;

  

  经分析、归纳可知,当拐弯数是偶数时,此拐弯处的数为1与从1开始的连续自然数的和的2倍的和,而连续自然数的个数(或者说最后一个数)正好是弯数的一半,用公式表示为:设拐弯数是n,则拐弯处

  因此第20个拐弯处的数应该是:

  1+(1+2+3+4+5+…+10)×2=111.

  注:若此题求拐第m个弯的地方是哪一个数(m为奇数)?做起来就不那么容易了,先求出拐第(m-1)个弯的地方的数(m-1为偶数),

例4 有一种用六位数表示日期的方法,如:890817表示的是1989年8月17日,也就是从左到右第一、第二位数表示年,第三、第四位数表示月,第五、第六位数表示日,如果用这种方法表示1991年的日期,那么全年中六个数字都不相同的日期共有多少天?

分析与解 解此题最好的方法是用排除法。

  根据题意,第三位已不能是1,只能是0,第五位不能是1和0,也不能是3,否则第六位将是0和1,因此第五位只能是2,那么六个数字都不相同的日期只能是3、4、5、6、7、8六个月中的23、24、25、26、27、28这6天中的5天,因此,共有30天。

  答:全年中六个数字都不相同的日期共有30天。


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