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七、行程问题


   作者:蓝忠诚 发表时间-9 :16:46  阅读( 36 )| 评论( 0 )

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七、行程问题

  走路的问题是我们每天都会遇到的,比如说我们每天从家到学校去上学,由于我们使用的交通工具不同,我们从家到学校所用的时间也不会相同,这是由于我们每天所走的路程是相同的,而我们每天所行驶的速度不相同,导致我们每天所用的时间不相同.有关走路的问题中,有很多问题值得我们去探讨.这就需要我们首先弄清行程问题中的基本数量关系.路程、时间、速度是行程问题的三个基本的量,它们之间的关系如下:

路程=时间×速度;

时间=路程÷速度;

速度=路程÷时间。

  这三个关系式是我们解决行程问题的基本工具。

例1 一条轮船往返于A、B两地之间,由A到B是顺水航行;由B到A是逆水航行.已知船在静水中的速度是每小时20千米,由A到B用了6小时,由B到A所用时间是由A到B所用时间的1.5倍,求水流速度。

分析与解 在这个问题中,不论船是逆水航行,还是顺水航行,其行驶的路程相等,都等于A、B两地之间的路程;而船顺水航行时其行驶的速度是船在静水中的速度加上水流速度,而船在逆水航行时的行驶速度是船在静水中的速度与水流速度的差。

  设水流速度为每小时x千米,则船由A到B行驶的路程为(20+x)×6千米.船由B到A行驶的路程为(20-x)×6×1.5千米,根据题意得:

  (20+x)×6=(20-x)×6×1.5

  x=4

  答:水流速度为每小时4千米。

  问题:在你的生活中是否遇到过类似的问题?当你逆风骑车时有什么感受?顺风呢?你能用你所学过的知识解释清楚吗?

例2 两条公路成十字交叉,甲从十字路口南1350米处向北直行,乙从十字路口处向东直行,二人同时出发10分钟后,二人距十字路口距离相等;二人仍保持原速继续直行,又过了80分钟,这时二人离十字路口的距离又相等;求甲、乙二人的速度。

分析与解 综合题中所给出的两大条件,可以知道这样一个事实,二人同时出发后第一次距十字路口距离相等时,甲在十字路口的南侧,此时两人所走的路程的和为1350米;第二次距十字路口的距离相等时,甲处在十字路口的北侧,此时甲比乙正好多走了1350米,即两人所走路程的差是1350米.认识到这点,我们就可以利用题目中所给的条件将问题解决了。

  根据二人出发后10分钟,两人距十字路口的距离相等知道,两人十分钟共走了1350米,所以二人的速度和为:

  1350÷10=135(米/分)

  根据二人出发10分钟后再继续走80分钟,即出发90分钟后,二人离十字路口的距离又相等,知甲、乙二人90分钟所走的路程的差是1350米,由此可求出二人的速度差为:

  1350÷(10+8)=15(米/分)

  所以甲的速度为:(135+15)÷2=75(米/分);

  乙的速度为:(135-15)÷2=60(米/分)。

  答:甲的速度是每分钟75米,乙的速度是每分钟60米。

例3 一个步行人和一个骑车人沿同一条公共汽车线路同向而行,骑车人的速度是步行人速度的3倍,每隔20分钟有一辆公共汽车超过步行人,每隔40分钟有一辆公共汽车超过骑车人.如果公共汽车从始发站,每次间隔同样的时间发一辆车,那么每隔多少分钟发一辆公共汽车?

分析与解 设每隔x分钟发一辆公共汽车,由题意知,步行人走20分钟的路,公共汽车要走(20-x)分钟;骑车人走40分钟的路,公共汽车要走(40-x)分钟.

  由于骑车人的速度是步行人速度的3倍,所以,走相同的路程,公共汽车所用的时间与步行人所用时间的比值是公共汽车所用时间与骑车


  由此可以得到:

  

  解得 x=16。

  答:公共汽车每隔16分钟发一辆车。

  这个问题也可以这样考虑:

  假设步行人走20分钟的路程为单位“1”,因为骑车人的速度是步行人速度的3倍,所以骑车人20分钟所走的路程为“3”个单位,骑车人行40分钟所走的路程为(40÷20) ×3=6个单位。

  已知每隔20分钟有一辆公共汽车超过步行人,每隔40分钟有一辆公共汽车超过骑车人,由此得出汽车20分钟所走路程是步行人所走路程的5倍,则步行人走20分钟的路程公共汽车只要用20÷5=4分钟就可以了。

  因为每隔20分钟有一辆公共汽车超过步行人,所以公共汽车发车的时间间隔是 20-4=16分钟。

  列式为:

  

  =20-20÷5

  =20-4=16(分钟)

  答:每隔16分钟发一辆公共汽车。

例4 一个游泳池长50米,甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发,游到另一端立即返回,照这样往返游,两人游了两分钟,乙知甲每秒钟游3米,乙每秒钟游2米,从出发后的两分钟内,二人相遇了几次?

分析与解 两人同时从游泳池的两端出发,第一次相遇时,两人共游了50米,以后则每次两人游的路程为100米时相遇,两个游了两分钟,总共游了(3+2)×2×60=600米,除去第一次相遇时游的50米,还有550米,我们只需看一看这550米中含有几个100米就可以确定两分钟内两人相遇的次数。

  两人在出发两分钟内相遇的次数为:

  1+[(3×60×2+2×60×2-50)÷100]

  =1+[550÷100]

  =1+5=6(次)

  答:在出发后的两分钟内,两人共相遇了6次。

例5 在一条笔直的公路干线上,有两个骑车人从相差500米的A、B两地同时出发,甲从A地出发,每分钟行驶300米;乙从B地出发,每分钟行驶200米;问经过多长时间,两人相距5000米?

分析与解 问题的实质是已知两人相距的距离、两人的速度,求时间,但题中并没有告诉我们两人是同向行驶、相向行驶、还是背道行驶,所以我们需要考虑四种可能的情况.第一种是:两人都沿着从A到B的方向行驶,这种情况之下,要使两人之间的距离达到5000米,甲需比乙多行驶5000+500=5500米,所以这种情况下所需经过的时间为:

  (5000+500)÷(300-200)=55(分钟)

  即:若两人都沿从A到B的方向行驶,经过55分钟两人相距5000米。

  第二种情况:两人都沿从B到A的方向行驶,要使甲、乙相距5000米,只需甲比乙多行驶5000-500=4500米即可达到要求.这样所需的时间为:

  (5000-500)÷(300-200)=45(分钟)

  即:当两人都沿从B到A的方向行驶时,经过45分钟两人相距5000米。

  第三种情况:两人相向而行,即甲沿从A到B的方向行驶,乙沿从B到A的方向行驶,要使两人相距5000米,只需两人行驶的路程和为5000+500=5500米即可,这样所需用的时间为:

  (5000+500)÷(300+200)=11(分钟)

  即:两人相向而行时,经过11分钟两人相距5000米。

  第四种情况:甲沿从B到A的方向行驶,乙沿从A到B的方向行驶,要使两人之间的距离达到5000米,只需两人所行驶的路程和为:5000—500=4500米即可,这样要使两人之间的距离达到5000米,所需的时间为:

  (5000-500)÷(300+200)=9(分钟)

  即:两人背道而驰,经过9分钟两人相距5000米。

  此题主要考察学生思维的完备性及分类讨论思想,解决问题的关键是要认识到有四种可能情况,然后进行分类考虑。


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