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一、定义新运算


   作者:蓝忠诚 发表时间-10 :8:20  阅读( 22 )| 评论( 0 )

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一、定义新运算

  同学们都比较爱照像,翻开自己的像册,那一张张记忆犹新的笑脸蕴藏着多少欢乐!那么,照片是如何而来的呢?——是通过对底片的冲洗而得.对同一张底片,我们可以提出不同的要求,请照像馆的师傅根据不同的加工程序洗出1寸的、5寸的、7寸的等等各种大小的照片,也可以用彩色底片洗出彩色的或黑白的照片,甚至于给蓝天加上几朵白云,给暮日添上几笔晚霞.这样,对于同一张底片,我们可以通过不同的加工程序,得到不同效果的照片。

  对于同学们极为熟悉的数以及加减乘除四则运算,仔细思考一下,不也是把相同的原料,通过不同的加工得到不同的结果吗?加、减、乘、除四种运算就是我们已经规定了的四种不同的加工程序。

  例如:

  其中,“+”“-”“×”“÷”分别代表加、减、乘、除四种运算,并且对于这四种运算,还定义了它们所满足的各种运算律。

  那么,除了以上四种运算,我们是否还可以规定其他新的加工程序(新运算)呢?

  

  




这个新运算,那么对于数a、b,有:

  

  下面,我们通过具体的例子进一步熟悉“定义新运算”是怎么一回事。

  

  (1)计算1996*1998,1998*1996;

  (2)计算1997*7*1,1997*(7*1);

  (3)运算“*”有交换律吗?

  (4)运算“*”有结合律吗?

(1)直接根据运算“*”的定义,代入具体数值,进行计算:

  

  (2)

  

  (3)虽然由(1),对于1996和1998,有:

  1996*1998=1998*1996

  但要说明“*”有交换律,需要证明对任何数a、b,都有a*b=b*a.

  对于任意两个数a、b,

  

  所以a*b=b*a。

  所以“*”有交换律。

  (4)由(2),(1997*7)*1≠1997*(7*1)

  所以“*”不满足结合律。

  

  (1)说明,运算“∧”具有结合律,即:

  (a∧b)∧c = a∧(b∧c)

  (2)计算,2∧4∧8∧16∧16,

  (3)计算,16∧2∧8∧16∧4。

(1)因为:

  

  

  

  

  所以(a∧b)∧c = a∧(b∧c)。

  故此,运算“∧”满足结合律.

  (2)2∧4∧8∧16∧16

  =2∧4∧8∧(16∧16)(利用结合律)

  =2∧4∧8∧8

  =2∧4∧(8∧8)

  =2∧4∧4

  =2∧(4∧4)

  =2∧2

  =1

  (3)容易说明“∧”具有交换律,所以

  16∧2∧8∧16∧4

  =16∧16∧2∧8∧4(利用交换律和结合律)

  =16∧16∧8∧2∧4

  =16∧16∧8∧4∧2

  =1

  其中,第一步详细过程如下:

  16∧2∧8∧16∧4

  =(16∧2∧8)∧16∧4(结合律)

  =16∧(16∧2∧8)∧4(交换律)

  =16∧16∧2∧8∧4(结合律)

  其余各步类同。

  小结:解这一类题,第一是正确理解新运算;第二是严格按新运算的定义所指定的加工程序进行计算,不得随意改变运算顺序,有括号时,先计算括号内的部分;第三是许多新运算不具备交换律、结合律,如例1 中运算“*”不具备结合律,因此,在没有确定新运算是否具有这些性质时,不能运用这些运算律解题。

例3 沿a@b=[a,b]+(a,b),其中,[a,b]表示a与b的最小公倍数,(a,b)表示a与b的最大公约数。

  比如,6和9,最小公倍数是18,最大公约数是3,则6@9=18+3=21.

  (1)求14@4;

  (2)说明,如果c|a,且c|b,则c|a@b;

  (3)已知6@x=33,求x.

(1)根据“@”的定义,先求出14与4的最小公倍数为28,最大公约数为2,则:

  14@4=[14,4]+(14,4)=28+2=30。

  (2)如果c|a且c|b,则有:

  c|[a,b],c (a,b),

  因此 c|[a,b]+(a,b),即 c|a@b。

  (3)由“@”的定义,有:

  [6,x]+(6,x)=33,

  而(6,x)只能是1,2,3,6;

  所以[6,x]只能是32,31,30,27,这其中只有30是6的倍数,故有:

  [6,x]=30,(6,x)=3

  利用公式[a,b]·(a,b)=ab,得:30×3=6x

  即 x=15。

例4 对于平面上两个点M和N,定义M△N为M与N的中点。

  已知ABCD为边长是4的正方形,求:

  (1)以A△B、B△C、C△D、D△A为顶点的四边形面积;

  (2)以A△(A△B),C△(C△B),C△(C△D),A△(A△D)为顶点的四边形面积。

(1)如图1,记AB、BC、CD、DA中点分别为 E、F、G、H,则A△B=E,B△C=F,C△D=G,D△A=H,依题意,需求四边形EFGH的面积.由图知,四边形EFGH(实际上是正方形)的面积为ABCD

  (2)如图2,A△(A△B)=A△E=A与E的中点,记之为Q,C△(C△B)=C△F=C与F的中点,记之为R,以下类似,有C△(C△D)=S,A△(A△D)=T.



  依题意,需求四边形QRST的面积,我们把正方形ABCD画出网格,很容易数出QRST的面积为6。

  


  



  

  另法:

  


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