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五、钟表问题


   作者:蓝忠诚 发表时间-11 :2:33  阅读( 18 )| 评论( 0 )

五、钟表问题

  常言道:“时间就是生命”.可见,日常生活中的计时工具——钟表的重要.它可以帮助人们合理地安排时间,提醒人们定时起床、休息、工作、学习…….当你认识了钟表时,你已经离不开它了.然而,钟表上的许多问题对你来说可能还是个奥秘,要揭开这些奥秘,就必须更深刻地了解钟表的知识。

  钟表的表盘上刻有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12这12个自然数,这12个数字依次绕圆心均匀地分布在一个圆周上,并配有时针、分针及秒针.每相邻两个数字之间的圆心角α为30°.(如图1(甲)).时针每转30°为一小时,时针旋转一周为12小时,分针旋转6°为一分钟,分钟旋转一周为60分钟,秒针每转6°为一秒钟秒针旋转一周为60秒钟.也就是说“小时”、“分钟”、“秒钟”为表示时间的三种单位,这三者之间的关系为:



  1小时=60分钟,1分钟=60秒钟。

  

  时针、分针、秒针同时且各自有规律地匀速转动,用它们在表盘上转过的度数的多少来衡量经过时间的长与短,就是钟表的功能。

  首先我们要搞清时刻与时间这两个不同的概念。

  如图2,小红、小明星期日从上午9时到10时30分一起复习功课1小时30分钟.如图1(乙、丙)两钟面的指针分别表示9时及10时30分,它们之间相差1小时30分钟.其中, 9时与10时30分表示的是学习开始及学习结束两个不同的时刻,即两个特定的时候,而1小时30分钟则表示从学习开始到结束所经过的时间,即9时与10时30分两时刻之间的间隔.如果将时刻比做直线上的一个点,那么时间则可看成两点之间的距离。



  关于时刻与时间的问题日常生活中经常见到.我们熟悉的火车站候车室的列车时刻表即为每列火车发车、到达终点的时刻.而全程时间表则为列车从起点到达终点所经过的时间.又如学校一天的作息时间表即为每一节课上课、下课的时刻,而相邻两时刻之间的间隔则为上课的时间或课间休息的时间。

  因为钟表上的指针具有极强的运动规律,所以依照它们的规律可以读出指针所指的时刻,也可以求出两时刻之间的时间差,并能解决一些相关的钟表问题。

例1 某线路公共汽车发车及到达终点的时刻表如下表所示.依照规律:

  (1)求第五辆汽车起点站发车时刻及到达终点站时刻?

  (2)求此条线路从起点到终点汽车行驶的时间为多少?

  (3)若汽车的速度为每小时55千米,求全程为多少千米?

分析与解 观察下面时刻表,第一辆至第四辆汽车起点站发车时刻依次为6点10分、6点25分、6点40分及6点55分.到达终点的时刻依次为6点58分、7点13分、7点28分和7点43分.也就是:



  第一辆汽车与第二辆汽车发车时刻相隔时间为:6小时25分—6小时10分=15分钟;

  第一辆汽车起点发车时刻与到达终点时刻相隔时间为:6小时58分-6小时10分=48分钟;

  第二辆汽车与第三辆汽车发车时刻相隔时间为:6小时40分-6小时25分=15分钟;

  第二辆汽车起点发车时刻与到达终点时刻相隔时间为:7小时13分-6小时25分=48分钟;

  (因为1小时=60分钟,所以7小时13分=6小时73分.即第二辆汽车行驶全程时间为:

  6小时73分-6小时25分=48分钟)

  依此类推,可以计算出第三辆汽车与第四辆汽车发车时刻相隔时间为15分钟,第三辆汽车与第四辆汽车行驶全程所需时间均为48分钟,由此总结如下规律:

  相邻两辆汽车发车时刻相隔15分钟,每辆汽车全程行驶时间为48分钟。

  结论:(1)第五辆汽车起点站发车时刻为:

  6时55分+15分=7时10分,到达终点时刻为:7时10分+48分=7时58分;

  (2)这条线路从起点到终点汽车行驶时间为48分钟;

  

例2 某钟面的指针指在2点整,再过多少分钟时针和分针第二次重合?过多少分钟时针与分针首次成直角?

分析与解 这个问题实际上就是行程问题中的追及问题,当用时针

  因为钟面上的指针指在2点整,则此时时针与分针起始的位置相距2个格,当首次重合时分针比时针多走2个格,所以二次重合时,分针应比时针再多走一周,即分钟比时针共多走14格,则两针二次重合时的时间为:

  

  当时针与分针首次成直角时,两针相距3个格,而起始位置时的时针、分针相距2个格,所以,分针应比时针多走5个格时,两针成直角.则两针首次成直角时的时间为:

  



  另解:此问题还可以用设未知数列方程的方法去解.依题意分析可知:时针与分针第二次重合实际上就是在同一时间内,分针所走的路程比时针所走的路程多14个格.若设时针从2时到两针第二次相遇走了x格,则分针走了(14+x)格.时针经过的时

  

  同理,设时针从2点到与分针首次成直角时走了y格,则分针走了



例3 钟面上的指针指在8点的哪一时刻时,时针与分针的位置与5的距离相等?



分析与解 如图3,这个问题仍然可看成是行程问题.可设时针1


出:这一时刻时针与分针应分别在8、9之间和1、2之间(如图3).可设这一时刻时针的位置在8过x格,则由题意分针与时针和5等距离,所以,从8点整计算,时针走过x格时分针应走了(2-x)格.时针经过


  为在相同的时间内,则有如下方程:

 

  

例4 早晨晓龙看到镜中的表的指针指在6点20分,他赶快起床出去跑步,可跑步回来妈妈告诉他刚到6点20分,问晓龙起床时实际是什么时刻?

分析与解 造成晓龙与妈妈看到的钟面为同一时刻的原因就在于:晓龙看到的是反射在镜面上的钟面,时针、分针经过镜面的反射其位置改变了,反射前后钟面左右位置互换,也就是说表盘右边的刻度其指针经反射后变到左边了.相反,表盘左边的刻度其指针经过镜面反射后变到右边了.如图4分别为镜面反射后和未经镜面反射的两个钟面.因此,晓龙起床时看到的镜面反射后的钟面上的长针指在4的位置,短针指在6的左侧.如图4甲,而实际上长针指在8的位置,短针则应指在6的右侧(如图4乙)所以,晓龙起床时的实际时刻为5点40分.



例5 小明晚上9点整将手表对准,可早晨8点到校时却迟到了10分钟,那么,小明的手表每小时慢几分钟?

分析与解 这个问题仍然可看成行程问题.依照行程问题解决此问题时,可设小明手表1小时转动的一格为路程的一个单位.而小明的手表从晚上9点到第二天早晨8点共转动了11个格,实际走的时间为:

  

  所以,小明的手表转动的速度应为每小时:

  

  


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