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六、最大与最小


   作者:蓝忠诚 发表时间-9 :27:58  阅读( 10 )| 评论( 0 )

六、最大与最小


  同学们在一起时,有时谈论的话题是谁的年龄最大和谁的年龄最小.在现实社会中,日有长短之分,国有大小而论.比较大小的问题几乎无所不在,它往往关系到最佳策略的制定。


  例如,和为10的两个自然数,它们的积的最大值是什么?


  我们知道和为10的自然数共有5对,每对自然数乘积后又得到5个不同的数,如下表

    1+9=10 →1×9=9

      2+8=10 →2×8=16

      3+7=10
→3×7=21

       4+6=10 →4×6=24

      5+5=10
→5×5=25


  由此我们得到,当这两个自然数都取5时积有最大值 25。


  





成立。


  当我们在有限数中求最大(或最小)值时,枚举法是常用方法之一。


例1 从1234567891011…99100中划去100个数字,其他数字顺序不变,求剩下数中的最大数和与最大数位数相同的最小数。


分析与解 解决复杂问题可以从简单问题入手,经过分析得出规律,也就找到了解决复杂问题的方法。


  将此题简化为从12345678910中划去9个数字.利用枚举法不难得出剩下的两位数最大数为91,最小数为10,也就是在求最大数时,高位上的数字尽可能取大数字;求最小数时,高位上尽可能取小数字。


  本题中从 12345678910中划去 10个数字剩下9;从 111213…484950中划去76个数字剩下4个9;再从51525354555657585960中划去14个数字剩下尽可能大的数是785960,从而得到所求的最大数 9999978596061…99100。


  求最小值时,从12345678910中划去9个数字剩下10,从11121314…484950中划去76个数字剩下4个0,再从51525354555657585960中划去15个数字剩下尽可能小的数12340,从而得到所求最小数100000123406162…99100。


例2 把17分成若干个自然数的和,如何分才能使这些自然数的乘积最大?


分析与解 把17分成若干自然数和的形式,利用枚举法是很容易想到的,但如果动手写一写就发现不是一件容易的事,但这也是本题的解法之一.在此是否有规律可循呢?我们从小数字归纳。


  4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2,可知当4=2+2时,积最大为2×2=4。


  同理可知:


  5=2+3时,积最大为2×3=6;


  6=3+3时,积最大为3×3=9;


  7=2+2+3时,积最大为 2×2×3=12;


  8=3+3+2时,积最大为3×3×2=18。


  ……


  由此可归纳出:把自然数N分成若干个自然数的和,当N=3m时,积最大值为3m;当N=3m+1时,积最大值为3m-1×22;当N=3m+2时,积的最大值为3m×2。


  本题中,17=3×5+2,故积的最大值为:


  35×2=486。


  说明:事物之间是相互联系的,在它们的发展和变化中存在着普遍规律.伟大的数学家、物理学家牛顿,从苹果总是掉在地上这一现象,联想发现了万有引力定律.解数学题时能从简单问题归纳发现规律,并运用规律是数学能力的体现.


例3 用30米长的篱笆围成一个长方形鸡舍(1)当长和宽各是多少时,鸡舍面积最大?(2)若长方形一面靠墙,长和宽各为多少时面积最大?最大面积是多少?


分析与解 (1)如图1,设长方形长和宽分别为a和b,则这个实际问题就转化为数学问题a+b=15,求a×b的最大值问题,显然当







  (2)(如图2)由于靠墙部分没有篱笆,问题变得复杂了,现在的问题是如何将问题简单化.我们知道,当一个长方形面积最大时,同样的两个长方形面积之和也是最大.由此我们想到把这个长方形关于墙对称到墙的另一侧(如图2)虚线部分,则这两个长方形构成了一个较大的长方形.于是问题就转化成用60米长的篱笆围成一个长方形,当长方形长和宽各为多少时,面积最大?最大面积是多少?







  用与(1)相同的方法可以得到:当长和宽分别为15米时面积最大,最大面积为225平方米.由较大长方形的构造可知本题(2)的答案为当长方形长为15米,宽为7.5米时,鸡舍面积最大,最大面积为112.5平方米。


  转化思想是数学思想之一,把复杂问题转化成简单问题,从而达到解决问题的目的.在平面上有两个点A、B,把A、B用线连结起来有许多种方法,可用线段、弧线、折线等.在这无穷多种连结方法中,线段最短,因而我们也称线段AB的长叫A、B两点间的距离。


  我们可以做一个有趣的实验:在一个长方体的上面N点放上食品,在长方体侧面ABCD上M点放一只蚂蚁(如图3),蚂蚁从侧面经过棱AD到N有无穷多种走法(如图4),我们关心的问题是蚂蚁怎样走路程最短?







  在这个立体图形中找出答案是很困难的,直接连结MN则不经过棱AD,与条件不符.为了使问题简化,我们将长方体展成平面图形(如图5),连结MN交AD于P.由公理,两点之间线段最短,可知蚂蚁从M点沿直线MP爬到P后,再由P点沿直线PN爬到N时走过的路程最短。


  古希腊的海伦发现了将军饮马问题.将军骑马从A地到河岸同侧的B地(如图6),途中需给马饮一次水,问在何处饮水走的总路程最短?







  只要在河的另一岸找到B′,使B′关于河对岸的B为对称点,连结 AB′交河岸于P,则由 A到 B的最短路程为折线 APB(如图7)。


例4 150人要赶到90千米外的某地去执行任务.装备一辆可乘座50人,时速为70千米的卡车.若这些人步行时速为10千米,请你设计一种乘车及步行的方案,使这150人全部到达目的地所用的时间最少(上下车时间忽略不计)。







分析与解 由于车只能运送50人,若将这50人从起点送至终点,其他人步行到终点,和150人步行到终点所用时间相同(全部到达时间),汽车没有起到省时间的作用.因而汽车应把50人送至路程中某一点后,返回去接另外50人,如此往返.另外不乘车的人也应步行前进.总之:车要不停的开,人要不停的走,最大限度的利用人力和物力.为了省时间,应同时出发,同时到达.由于车的限制,应把150人分成3组,每组50人.为了保证同时到达,每组乘车走的路程相同,步行的路程也应相同.关键是乘车走多少路?步行多少路程?







  如图8,设每组步行2y千米,则乘车90—2y千米,设计方案如图.汽车送第一组走完90-2y千米后返回接第二组,与第二组相遇时第二组走了y千米,此时汽车走了90-2y+90-2y-y=180-5y千米.由于它们所用












  即步行30千米,乘车60千米,所用时间为


  




例5 一群小同学围成一圈做游戏,他们每人手中拿着一盒小球,每人盒中的球数不同,游戏规则是:教师拍拍手,同学们把自己盒中的球分成三等份,若球数不是3的倍数,可向老师要1个或2个使球能分成三等份,然后将1份传给左边同学,1份留给自己,另一份传给右边的同学,称为一次调整,如此重复,问能否经过有限次调整后,使每位同学手中的球变得一样多?


分析与解 本题的难点是有多少同学参加游戏不知道,每位同学有多少球也不知道,因而不知从何处入手.既然有限个同学参加游戏在他们当中必然有人手中拿的球最多,记为3M(分成3等份后);有人手中拿的球最少,记为3m.设拿球多者左右两边同学拿球分别为3L和3N,则M>L且M>N.经过调整拿球最多的同学球数变为M+L+N,显然少于3M.也就是说经过一次变化,拿球最多同学手中的球变少了,经过同样分析可知拿球少的同学经过一次调整后球变多了。


  如此调整下去,每次调整都是多者变少而少者增多,因而经过有限次调整后可以使每位同学手中的球变得一样多。


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