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七、抽屉原则


   作者:蓝忠诚 发表时间-11 :29:18  阅读( 13 )| 评论( 0 )

七、抽屉原则


  抽屉原则,又叫狄利克雷原则,它是一个重要而又基本的数学原理,应用它可以解决很多有趣的问题,并且常常能够起到令人惊奇的作用,许多看起来相当复杂,甚至无从下手的问题,在利用抽屉原则后,能很快使问题得到解决.那么,什么是抽屉原则呢?我们通过一个简单的例子来认识它。


  一个小朋友养了三只小鸟,他有两只鸟笼子.要将三只小鸟放到笼子里,会有什么情况出现呢?我们不难发现,要么一只笼子里放进两只小鸟,而另一只笼子里放进一只小鸟;要么一只笼子里放进三只小鸟,而另一只笼子空着.上述两种情况我们可以用一句话加以概括:一定有一只笼子放进了两只或两只以上的小鸟.虽然具体哪一只笼子里放进了至少两只小鸟我们无法确定,但这是无关紧要的,重要的是有这样一只笼子里放进了两只或两只以上的小鸟。


  如果将上述问题中的小鸟换成苹果,书本或数,同时将笼子换成抽屉、学生或数的集合仍然可以得到相同的结论.由此可以看出,上面的推理的正确性与具体的事物是没有关系的.如果我们把一切可以与小鸟互换的事物称为元素,而把一切可以与鸟笼互换的事物叫做集合(或抽屉),那么上面的结论就可以叙述为:三个元素以任意方式分到两个集合(抽屉)中,一定有一个集合(抽屉)中至少有两个元素。


  同样,小鸟与鸟笼的具体数目也是无关紧要的,只要小鸟的数量比笼子的数量多,推理依然成立。


  通过上面的分析,我们可以将上述问题中包含的基本原理写成下面的一般形式。


  抽屉原理一 把多于n个的元素,按任一确定的方式分成n个集合,那么一定至少有一个集合中,含有至少两个元素.


  将原理一作更一般的推广可以得到:


  抽屉原理二 把多于m×n个元素放入n个抽屉中,那么,一定有一个抽屉里有m+1个或者m+1个以上的元素。


  应用抽屉原理来解题,首先要审题,即要分清什么作为“元素”,什么做为“抽屉”;其次要根据题目的条件和结论,结合有关的数学知识,恰当地设计抽屉.这是应用抽屉原理解题的关键。


例1 求证1997年1月出生的任意32个孩子中,至少有两个人是同一天出生的。


分析与解 1997年1月份共31天,为了回答上述问题,我们不妨假设1月份这31天为31个抽屉,而将1月份出生的任意32个孩子看作32个元素.根据抽屉原理一知,有一只抽屉里至少放入了两个元素.也就是说,1月份出生的任意32个孩子中,至少有两个人是同一天出生的。


  问:若将条件中的1997年1月改为任意月份,结论会发生变化吗?


例2 能否在8行8列的方格表(如图1)的每一个空格中分别填上1、2、3这三个数字中的任意一个,使得每一行、每一列及对角线AC、BD上的各个数字的和各不相同?对你的结论加以说明。







分析与解 这个问题初看起来似乎与抽屉原理关系不大,但深入分析可以发现其中的密切联系.我们结合图来分析,图中8行8列及两条对角线,共有18条“线”,每条“线”上都填有8个数字,要使各条“线”上的数字和均不相同,那么各条“线”上的数字和的取值情况应不少于18种.下面我们来分析一下各条“线”上取不同和的情况有多少种.如果某一条“线”上的8个数字都填上最小的数1,则可得到数字和的最小值8;如果某一条“线”上的8个空格中都填上最大的数3,那么可得到数字和的最大值24.由于数字及数字和均为整数,所以从8到24共有17种不同的值.我们将数字和的17种不同的值看作17个抽屉,而将18条“线”看作18个元素.根据抽屉原理一,将18个元素放入17个抽屉中,一定有一只抽屉中放入了至少两个元素.即18条“线”上的数字和至少有两个相同,所以不可能使18条“线”上的各数字和互不相同。


  结合上面的问题,我们不妨考虑一下,若在空格中可填的数字增加一个或更多,那么,结论会是什么?


例3 求证:任意互异的8个整数中,一定存在6个整数x1、x2、x3、x4、x5、x6使得(x1-x2)·(x3-x4)·(x5-x6)恰是105的倍数。


分析与解 由于105=3×5×7,而3、5、7两两互质,所以只要能找到两个数,比如x1、x2,使得x1-x2是7的倍数,同理x3-x4是5的倍数,x5-x6是3的倍数,题目即得证。


  根据抽屉原理一,在所给的任意8个整数中,必有两个整数被7除的余数相同,不妨设这两个数为x1、x2,则有7|(x1-x2),或表示为:x1-x2=7k1(其中k1为不等于零的整数)。


  在余下的6个数中,必有两个数被5除的余数相同,不妨设这两个数为x3、x4,使得x3、x4满足:x3-x4=5k2(k2为非零整数)。


  在余下的4个数中,必有两个整数被3除所得余数相同,不妨设这两个数为x5、x6,使得x5-x6=3k3(k3为非零整数)。


  将上述三个式子相乘得到:


  (x1-x2)·(x3-x4)·(x5-x6


  =7k1·5k2·3k3


  =105×整数


  即:从任意给定的互异的8个整数中,一定可以找到6个数x1、x2、x3、x4、x5、x6使得(x1-x2)·(x3-x4)·(x5-x6)是105的倍数。


  问题:在上述问题的考虑过程中,若将说明的顺序调换一下,比如,先说明在给定的8个数中一定存在两个数,其差是3的倍数,然后再说明其他,还能做到吗?


例4 在边长为1的等边三角形内(包括边界),任意点了10个点,









  证明 如图2,等边三角形ABC三边中点为D、E、F,DE,EF、





果规定线段DE、EF、FD上的点是属于△DEF的,那么,三角形ABC内的所有点被划分为四个互不相交的区域,把每个区域看作一个“抽屉”.在三角形ABC内任意点10个点,根据抽屉原理二,至少有三个点落入同










  思考题:如果在边长为1的正方形中,任意点9个点,试证明:至




  这里给出四种分割图形来构造抽屉的方案(如图3),请考虑,这四种方案中哪种方案不能用来说明问题?为什么?


  上面的例4及思考题是采用图形分割法来构造抽屉,利用这种方法构造抽屉在解决有关的几何问题上,效果往往比较明显.但要注意,不要简单认为用分割图形法构造抽屉只是简单地将几何图形若干等分就可以了,构造不科学仍达不到解决问题的目的.这一点,我们仔细考察一下上面给出的思考题就可以体会到.所以,科学、合理地分割图形是利用此法解决问题的关键,我们要细细地加以品味.







例5 一个口袋里有四种不同颜色的小球,每次摸出两个,要保证有10次所摸的结果是一样的,至少要摸多少次?


分析与解 当摸出的两个球的颜色相同时,可以有四种不同的结果。


  当摸出的两个球的颜色不同时,最多可以有3+2+1种不同的结果。


  将上述10种不同的结果作为10个抽屉。


  因为要求10次摸出的结果相同,依抽屉原理二,至少要摸9×10+1=91(次)。


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