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练习七解答


   作者:蓝忠诚 发表时间-14 :28:50  阅读( 5 )| 评论( 0 )

练习七解答

  1. 根据题意,在这40名学生中,年龄最大的与最小的仅差三个年份,即36个月份,我们将这36个月份看作36个抽屉,那么将40名学生“投放”到36个抽屉中。

  因为40=1×36+4,所以必有2人“在”同一抽屉中,即必有2人是同年同月出生。

  2. 先把两数之和为32的“数对”找出来,形成满足条件的前七个抽屉,再把“1”作为第8个抽屉,具体构造为{3,29},{5,27},{7,25},{9,23},{11,21},{13,19},{15,17},{1}。

  依据抽屉原理一,把任意取出的9个自然数,放入上述的8个抽屉中,则必存在某个抽屉中有两个数,显然这两个数的和为32。

  3. 将41名学生看作41个抽屉,而将书看作元素,根据抽屉原理,元素的数目要比抽屉的数目大,才能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的元素,因此,小书库中至少要有42本书,才能保证至少有一位同学一次能借到两本或两本以上的图书。

  4. 布袋中有60块木块,每6块编上相同的号码,所以将布袋中的木块分成60÷6=10类.我们将编号相同的木块算作一类,又将这十类看作10个抽屉,要保证其中一个抽屉至少有三个元素,即需(3-1)×10+1=21个元素。

  即:每次至少取出21块,才能保证其中至少有三块号码相同。

  5. 设11个整数为a1,a2,…,an.∵6=2×3。

  (1)先考虑被3整除的情况.

  由于任一整数除以3,余数只能是0,1,2三种可能,故在11个任意整数中必存在三个数,不妨设这三个数为a1,a2,a3,使得这三个数之和是3的倍数,即3|(a1+a2+a3).不妨设a1+a2+a3=b1

  同理剩下的8个任意整数中必存在a4,a5,a6.使得3|(a4+a5+a6),记a4+a5+a6=b2

  同理,其余的五个整数中必存在a7,a8,a9,使得3|(a7+a8+a9),记a7+a8+a9=b3

  (2)再考虑b1,b2,b3中必有二数之和被2整除的情况。

  根据抽屉原理一可知,b1,b2,b3这三个整数中,必有两个奇偶性相同,这两个数之和必能被2整除.不妨设2|(b1+b2)。

  ∴6|(b1+b2),即6|(a1+a2+a3+a4+a5+a6

  也就证明了任意11个整数中,一定存在6个数之和是6的倍数。

 


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