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八、包含与排除


   作者:蓝忠诚 发表时间-11 :1:53  阅读( 26 )| 评论( 0 )

八、包含与排除


  小明和小龙两家合住一套房子,门厅、厨房和厕所为公用,在登记住房面积时,两家登记表如下图(单位:平方米):







  他们住的一套房子共有多少平方米?


  如图1,小圆表示小明家面积,大圆表示小龙家面积.如果把大圆面积44平方米和小圆面积38平方米相加,阴影部分的面积事实上被加了两次.因此这套房子的面积为大圆面积加小圆面积减去阴影面积,即所求面积=44+38-24=58(平方米)







  由此我们得到逐步排除法(容斥原理)


  当两个计数部分有重复时,为了不重复计数,应从它们的和中减去重复部分。


  如图2,在长为30厘米,宽为20厘米的长方形铁板上钻了一个半径为5厘米的圆孔,求阴影部分的面积.


  这个图形是一个不规则图形,如果我们直接计算很不容易,由图2容易看出阴影面积加圆面积恰好等于长方形面积,而长方形面积与圆的面积都很好计算,因而有:


  阴影面积=20×30-5×5×π


  =600-25π(平方厘米)


  由此我们得到排除法:


  两个分量之和等于总量,当计算一个分量时,可用总量减去另一个分量.即若A+B=C,则A=C-B。


  比如计算小于100的自然数中不能被3整除的数有多少个?


  由于小于100的自然数中,不能被3整除的数的个数加能被3整除的数的个数为99,很容易计算只能被3整除的数的个数为33,因此由排除法,不能被3整除的数的个数为99-33=66(个)。


  下面我们考虑在小于100的自然数中,能被3整除,或能被5整除的自然数有多少?


  能被3整除的自然数有3,6,9,…,96,99共33个;能被5整除的自然数有5,10,15,…,90,95共19个.还要注意到能被3整除的数中也有能被5整除的数(即能被15整除的数),如15,30,45,…,90共6个,由逐步排除法有,能被3整除的数或能被5整除的数有33+19-6=46(个)。


例1 如图3,长方形长为4厘米,宽为3厘米,求四边形GHEF的面积。


分析与解 所求四边形四条边的长都不知道,我们还不会直接求它的面积.由于所求四边形面积与4个三角形面积之和等于长方形面积,我们可以利用容斥原理把不规则图形HEFG的面积转化为求规则图形的面积。


  SHEFG=SABCD-S△AHE-S△EBF-S△CFG-S△GDH


  




  =7(平方厘米)


例2 六年级一班有45名同学,每人都参加暑假体育训练班,其中足球班报25人,篮球班报20人,游泳班报30人,足球、篮球都报者有10人,足球、游泳都报者有10人,足球、篮球都报者有12人.问三项都报的有多少人?


分析与解 由于问题比较复杂,我们把它简化成图4.要计算阴影部分的面积,我们记A∩B为圆A与圆B公共部分的面积,B∩C为圆B与圆C公共部分的面积,A∩C表示圆A与圆C的公共部分的面积,x为阴影部分的面积.则图形盖住的面积为


  A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+X (*)


  请你注意阴影部分的面积被加了4次又被减了3次。







  设三项都报的有x人,由容斥原理有


  30+25+20-10-10-12+x=45


  解得 x=2。


  答:三项都报名的有2人。


  在*式中,A,B,C,A∩B,B∩C,A∩C,x和总量这8个数中,只要知道了7个数,就可通过列方程求出第8个数。


例3 某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组,其中数学有30人参加,英语有20人参加,语文小组有10人.老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人,既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数,而三种全参加的只有1人,求既参加英语又参加数学小组的人数。


分析与解 根据已知条件画出图5.根据已知三圆盖住的总体为49人,A=30,B=20,C=10,A∩B=X,B∩C=Y,A∩C=3,A、B、C的公共部分记为A∩B∩C=1,由逐步排除法有49=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C,即:


  49=30+20+10-x-y-3+1


  故
x+y=9。


  由于x,y都是质数,而它们的和为奇数9.因而这两个质数中必有一个偶质数2,另外由x+y=9知另一个质数为7。


  答:既参加英语又参加数学小组的人为2个或7个。


例4 某班同学参加升学考试,得满分的人数如下:数学20人,语文20人,英语20人,数学、英语两科满分者8人,数学、语文两科满分者7人,语文、英语两科满分者9人,三科都没得满分者3人.问这个班最多多少人?最少多少人?


分析与解 如图6,数学、语文、英语得满分的同学都包含在这个班中,设这个班有y人,用长方形表示.A、B、C分别表示数学、语文、英语得满分的人,由已知有A∩C=8,A∩B=7,B∩C=9.A∩B∩C=X.







  由容斥原理有


  Y=A+B+c-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+3


  即y=20+20+20-7-8-9+x+3=39+x。


  以下我们考察如何求y的最大值与最小值。


  由y=39+x可知,当x取最大值时,y也取最大值;当x取最小值时,y也取最小值x是数学、语文、英语三科都得满分的人数,因而他们中的人数一定不超过两科得满分的人数,即x≤7,x≤8且x≤9,由此我们得到x≤7.另一方面数学得满分的同学有可能语文都没得满分,也就是说没有三科都得满分的同学,故x≥0,故0≤x≤7。


  当x取最大值7时,y有最大值39+7=46,当x取最小值0时,y有最小值39+0=39。


  答:这个班最多有46人,最少有39人。


例5 向50名同学调查春游去颐和园还是去动物园的态度,赞成去





颐和园的学生多3人,其余的不赞成,另外对去两处都不赞成的学生数





都赞成和都不赞成的学生各有多少人?


分析与解 所求的都赞成和都不赞成的学生都包含在50名同学中,由于问题比较复杂,我们从50人中利用逐步排除法去计算,如图7.用长方形I表示50名被调查的同学,A表示赞成去颐和园的同学,用B












 




  人.由逐步排除法可知投过赞成票的人数(包括赞成去颐和园、动物园,和二者都想去的人)为30+33-x=63-x,由排除法可知用全体50人减去投过赞成票的人,剩下的就是去两处都不赞成的同学,这样也就列出了算式


  解得,x=21


  




  答:去两处都赞成的同学有21人,去两处都不赞成的同学有8人。


例6 如图8,正方形边长为4厘米,分别以正方形四边为直径作半圆.求阴影部分的面积.







分析与解 求圆形面积问题的关键是把不规则图形包含在一个规则图形中,再由这个规则图形面积中减去若干个规则图形的面积.此图中若把四个半圆面积和起来(阴影部分被加了两次)是正方形面积加阴影面积,因此我们由排除法有


  




  答:阴影部分的面积为9.12平方厘米。


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