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十、最佳方案


   作者:蓝忠诚 发表时间-11 :8:40  阅读( 17 )| 评论( 0 )

十、最佳方案


  上一讲我们介绍了有关“对策”的一些问题,或许能使同学们在游戏和竞赛中增加一些取胜的机会,只要同学们善于动脑筋寻找规律,就能把握住机会,出奇制胜.在我们的生活中还有一类需要我们动脑筋想办法,合理安排,统筹规划,最终得到最满意结果的事情。


  例如我们家里做饭时,通常有以下步骤,择菜,洗菜,切菜,炒菜,洗米,煮饭等.如果一个人做这些事时,若能比较合理地安排前后顺序,就会在最短的时间内做好饭。


  再比如同学们的父母为家人做衣服.在裁剪衣料时,如果能够精打细算,就可以在衣料一定量的前提下裁剪出更多或更好的衣服。


  又比如我们上街购物时,如果事先计划好路线,就可以少走冤枉路,节省时间。


  这样的事例可以举出很多.这种问题大致可以分为两类:一类是确定一项任务后,精打细算,使用最少的人力、物力去完成它;另一类是已有一定数量的人力、物力,合理调配,使之发挥最大效力,从而多、快、好省地完成任务。


  本讲将一些简单的问题介绍给同学们。


例1 40名师生参加义务植树活动,他们的任务是挖树坑和运树苗.经过上午的劳动实践,40名师生大致可分成甲、乙、丙三类人员.每类人员的劳动效率见表.下午给他们分配的任务是:挖树坑30个,运树苗不限,如何安排人员能使树苗运得最多?


分析与解 这个问题是当劳动力一定的条件下如何发挥最大效力的问题.要想发挥劳动力的最大效力,首先要知道劳动人员的工作效率(已知)和“相对工作效率”(劳动人员做两项工作时的效率之比).由相对效率可以得出劳动人员做哪项工作发挥的效力更大。


 







  




  由此可知:乙类人员挖树坑的相对效率比甲类人员和丙类人员都大.故应让乙类人员挖树坑,即可以挖树坑:1.2×15=18(个)。


  现在离任务要求还相差“12个树坑”,需要由剩下的人员中再挑选一些人挖树坑.因为丙类人员挖树坑的相对效率比甲类人员大,故应优先选丙类人员挖树坑,可挖:0.8×10=8(个).最后再由2名甲类人员也参加挖树坑,即可完成任务,其余的13名甲类人员运树苗,可运:20×13=260(棵)。


  即最佳方案为:由13名甲类人员运树苗,其余所有人都去挖树坑。


  注:同学们可以尝试其他任何分配方案,一定都会比我们上述的方案劣。


例2 现有2.8米长的方木条原料,要截成1.2米、0.9米两种长度的木条作镜框(每个镜框要用长、短木条各两根).要做30个镜框,如何下料可以最省?


分析与解 这是个节约用料的问题.如果不精打细算就会简单的用一根原料截长短木条各一根,就样就需要60根原料.而这样就会造成很大的浪费.因为每根原料剩下的残料为2.8-1.2-0.9=0.7(米), 60根原料所剩的残料则是很大的一个数字,显然这不是最佳的方案。


  如果我们考虑用一根原料分别截取长短木条,则:(1)可截1.2米木条两根,余料0.4米;(2)可截0.9米木条三根,余料0.1米。


  现设取x根原料用于截法(1):取y根原料用于截法(2).则有


  




  故需要原料50根即可制成30个镜框。


例3 某学校调整教室桌椅,图1中标出了教室的位置,图中“方块”表示的教室要搬出桌椅,“圆”所表示的教室要搬入桌椅,搬出、搬入桌椅的套数为图中所标数字.试作出“最佳”搬运方案。


分析与解 这是一类运输问题.一般的货物运输包含两个因素,1.运输路程;2.货物重量.本例中的“货物”就是桌椅,货物重量就是桌椅的重量.我们现设一套桌椅的重量为一个重量单位,则由已知所搬桌椅共有150(80+50+20=150)个重量单位.所谓最佳运输方案就是使这150个重量单位的桌椅搬运的路程尽可能少.要做到这一点,其关键就是避免运输路线“往返重复”(我们称之为对流).则制定最佳方案的原则是:在不产生对流的前提下就近搬运桌椅。


  









案.







例4 东升乡有八个行政村,如图3分布.点表示村庄,线表示道路.图中的数字表示道路的长.现在这个乡要建立有线广播网,沿道路架设电线,问怎样的架线方案能使电线最省?


分析与解 要在全乡建立广播网,显然整个线路应该是连通的,并且每个村都有广播线,要使电线最省,即整个广播网络用线最短.因此架线时不能出现“环路”(闭合线路),而乡村分布图是有“环路”的,则需要将环路“破坏”掉,使得架线方案中只有7条线将8个村庄连通,井且这7条线的总长最短。


  在破坏环路时,我们将环路时较长的路线去掉,当所有的环路都不存在时,剩下来的线路必是最短的。


  首先破坏环路AGEFA,因为AF最长,故去掉AF.下面依次:在AGHBA中去掉AB;在BCHB中去掉BC;在CDHC(中去掉CD;在CEHD中去掉HD;在HEGH中去掉EG;到此为止,所有的环路都破坏掉了,剩下来的便是我们所需的架线路线图(如图4所示),即最佳架线方案.







例5 有一条可坐20人的木船要载40名学生从湖边到湖中A、B两岛参观.从湖边驶船到A岛需10分钟,到B岛需12分钟.A、B两岛之间船行需6分钟.A岛的参观时间需30分钟,B岛的参观时间需25分钟.问40名学生全部参观完两岛后返回湖边的最少用时是多少?(学生上下船的时间忽略不计)


分析与解 由题设40名学生要分两批乘船,这样我们将40名学生分成两组.由于乘船时间与参观时间都是固定的,所以要想节约时间只能是尽量减少学生“等船”的时间.由此分析,第一组学生应先去A岛参观,因为A岛比B岛近“2分钟”的路程,这样第二组学生等船的时间为20分钟(木船往返湖边与A岛所用时间),接下去是第二组学生去A岛还是去B岛参观的问题,我们分两种情况讨论:


  (1)第二组学生也去A岛参观。


  当第二组学生到达A岛时,时间已经过去了30分钟(等船20分钟,乘船10分钟).第二组开始参观A岛,此时第一组已经在A岛参观了20分钟,10分钟后第一组参观完A岛,乘船去B岛参观,木船将第一组送到B岛后立即返回A岛,由A岛与B岛之间乘船为6分钟,所以木船往返时间为12分钟.当木船回到A岛时,第二组在A岛已参观了22分钟.8分钟后第二组参观完A岛,立即到B岛.第二组到达B岛时,第一组已参观了20分钟(木船从B岛返回A岛的时间和等待第二组学生的时间以及再从A岛到B岛的时间总和).第二组到达B岛后开始参观.5分钟后第一组参观完B岛,乘船返回湖边,木船将第一组送到湖边后又立即返回B岛接第二组,当木船到达B岛时,距木船把第二组送上B岛相隔了29分钟(木船等待第一组5分钟,往返B岛与湖边24分钟).此时第二组已参观完B岛并且已等候了4分钟.当第二组乘船返回湖边时,整个参观过程一共用时(等于第二组参观共用的时间)为:


  等候乘船共(20+4)分钟;


  两岛的参观时间共(30+25)分钟;


  乘船时间共(10+6+12)分钟。


  总和为(20+4)+(30+25)+(10+6+12)=107(分钟)。


  (2)第二组学生去B岛参观。


  木船将第一组送到A岛后,返回湖边接第二组去B岛,当木船到达B岛时,时间已经过去了32分钟(等候船20分钟,乘船12分钟).木船立即去A岛接第一组.船到A岛时,第一组已参观了28分钟(木船从A岛到湖边的时间与从湖边到B岛的时间以及从B岛到A岛的时间总和).2分钟后,第一组参观完A岛乘船到B岛.到达B岛时,第二组已在B岛上参观了14分钟(木船往返A、B岛的时间与等待第一组的时间总和).第一组开始参观B岛.11分钟后第二组参观结束乘船到A岛参观.木船又返回B岛,到达B岛时,第一组已参观了23分钟(木船等待第二组11分钟,往返A、B岛12分钟).2分钟后,第一组参观结束乘船返回湖边.木船送完第一组立即到A岛接第二组.木船到达A岛时,第二组刚好参观完A岛(船从A岛到B岛6分钟,等第一组2分钟,送第一组到湖边12分钟,从湖边再到A岛10分钟).即刻乘船返回湖边.


  整个参观过程一共用时(等于第二组参观一共用的时间)为:


  等候乘船共20分钟;


  两岛的参观时间共(30+25)分钟;


  乘船时间共(12+6+10)分钟。


  总和为 20+(30+25)+(12+6+10)=103(分钟)


  两种方案比较,显然第二种方案较好.故应让第一组先参观A岛,第二组先参观B岛,总用时为103分钟。


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