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十二、立体图形


   作者:蓝忠诚 发表时间-15 :54:28  阅读( 79 )| 评论( 0 )

十二、立体图形


  涉及到立体图形的问题,往往是考查同学们的看图能力和想象能力.小学阶段遇到的立体图形主要是长方体和正方体等,本节将针对这两种最简单、最常用的图形,分析有关的一些例题,供读者参考。


例1 如图1是一个边长为4厘米的正方体,分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个横截面为边长1厘米的正方形的长方体做成一种玩具,它的表面积和体积各是多少?


分析与解 因为前后、左右、上下的三个长方体在中间形成一个空的小正方体,所以解此题的关键在于计算时不要重复计算这个小正方体的表面积或体积.







  (1)在正方体中间挖孔,正方体的六个面的表面积就减少了六个边长是1厘米的正方形的面积,增加了挖去的三个小长方体的侧面积.但这三个小长方体中间重合部分没有给正方体增加表面积,实际上三个小长方体都要减去中间的部分,才是正方体内实际增加的表面积。


  正方体现在表面积=4×4×6-1×1×6=90(平方厘米)


  3个中空长方体的侧面积=[1×(4-1)×4]×3=36(平方厘米)


  挖孔后正方体表面积是(90+36=)126平方厘米。


  (2)由前后、上下、左右三个小长方体在中间形成一个空的小正方体,所以挖孔后的正方体的体积应等于大正方体体积减去3个长方体体积再加上2个中空的小正方体体积.


  挖孔后正方体的体积=4×4×4-3×1×4+2×1×1×1=64-12+2=54(立方厘米)。


例2 一个正方体形状的木块,棱长为1米,沿着水平方向将它锯成3片,每片又锯成4长条,每条又锯成5小块,共得大大小小的长方体60块(如图2所示),那么,这60块长方体表面积之和是多少?


分析与解 此题如果将60个长方体形的小木块拿来逐个逐个的计算表面积,然后再求和就很复杂,何况图形上故意画得厚薄宽窄都不尽相同,就更增加了逐个计算的困难.但是,从另一个角度去考虑,想到一刀切下去,立刻就得到两个面,这样只需数一数一共切了多少刀,问题就迎刃而解了。


  先前的正方体有6个面,每个面的表面积是1平方米,共6平方米,无论后来锯成多少块,这6个面的6平方米总是后来的小木块的表面积。


  后来每锯一刀就会得到两个一平方米的表面,现在一共锯了(2+3+4=)9刀,一共得到18平方米的表面,因此总的表面积为


  6+(2+3+4)×2=24(平方米)。


例3 把正方体的六个表面都分成9个相等的正方体.现在用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方体,要求有公共边的正方形染的颜色不同,那么用红色所染的正方体的个数最多是多少个?(正方体如图3所示)


 




分析与解 解答此题并没有特别巧妙的办法,只能亲自染一染就能得出答案。


  从图中可以看出,一个面上最多有5个方格可以染成红色,如图a所示.当一个面染成5个红色方格以后,与这个面有公共边的四个面,就不可能再有同样的染法,只有这个面的对面仍可以染成5个红色方格.因此,至多有两个面可以染成5个红色的方格。


  其余四个面中,每一面的四个拐角处的方格都不能再染成红色,一个面至多只能染四个红色方格,如图b所示.但是,有公共边的两个面,不能再有同样的染色方法,只有一组对面上的4个方格可以染上红色。


  最后,还剩下两个面,每个面上最多只能有两个方格染上红色,如图c所示。







  采用上面的方法,可以染成红色的方格最多有


  5×2+4×2+2×2=22(个)。


例4 长方体有12条棱,8个顶点(如图5所示).一只蚂蚁从A点出发,沿着棱爬行,要经过每个顶点一次,且只经过一次,问共有多少种不同的走法?


分析与解 由A出发,最初只有三条路,分别为A→B…,A→D…,A→E….对于这三种情况我们只讨论出其中任意一种情况有几种走法,那么同理可知其他两种有几种走法,本题也就有了答案。


  先考虑由A到B的走法。


  由A到B再走只能是A→B→C…,或A→B→F….由A→B→C…接着再走只能是A→B→C→D…或A→B→C→G…







  A→B→C→D…有两种走法,分别为


  A→B→C→D→H→G→F→E


  A→B→C→D→H→E→F→G


  A→B→C→G…接着走只能是:


  A→B→C→G→F→E→H→D


  由试验可知A→B→F…往下走也只能有三种走法,分别为


  A→B→F→E→H→G→C→D


  A→B→F→E→H→D→C→G


  A→B→F→G→C→D→H→E


  所以A→B→…共有六种走法。


  同理A→E→…,A→D→…都有六种走法。


  所以一共有18种走法。


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