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第十一讲 不定方程(一)之一


   作者:蓝忠诚 发表时间-8 :52:56  阅读( 15 )| 评论( 0 )

第十一讲 不定方程(一)之一

  先看一个问题:老师和小王开了一个玩笑。他对小王说,我左、右两个手心里各写一个整数,它们的和是10,你能猜出我左、右手心各写的是什么整数吗?我允许你猜三次呢!小王满有信心地说:能行。于是小王连猜了三次。

  第一次猜:左手心写的是9,右手心写的是1,老师说不对。

  第二次猜:左手心写的是5,右手心写的也是5,老师又说不对。

  第三次猜:左手心写的是8,右手心写的是2,老师还是说不对。

  同学们请想一想,如果换一位同学去猜猜一定能猜出吗?

  细心的同学可能已经想到,两个整数的和为10,这样的

  整数有好多对,除了小王猜过的(9,1)(5,5)(8,2)之外,还有(7,3)(6,4)(10,0)以及左、右手互换后的(1,9)、(2,8)、(3,7)、(4,6)、(0,10)等共有11对,满足条件,不要说请三次,就是猜了十次,还有一组没猜到,老师可以说在左、右手心里写的恰好是没猜到的那一组。

  如果设左、右手心写的整数分别为x、y,那么可以列出方程x+y=10

  由于未知数的个数多于一个,而且是要求这个方程的整数解,这种方程称为不定方程。

  让我们再考虑一个实际问题:在长为158米的地段铺设水管,用的是长17米和长8米的两种同样粗细的水管,问两种长度的水管各用多少根(不截断)正好铺足158米长的地段?

  由于总长度为158米,那么17米长的水管至多用9根,可以假设17米长的水管用了9、8、7、6、5、4、3、2、1根,再看剩余的长度是否恰好是8米的整数倍。

  这个办法是将17米长的水管可取的各种可能性逐个列举,再看哪种情况合适,这种办法称为穷举法。当可取的情况很多时,这种办法当然不能令人满意,但当情况较少时,还是可行的。

  如设17米长的水管用了x根,8米长的水管用了y根,可列出方程

  17x+8y=158 (1)

  本题要求这个方程的正整数解。

  我们用下面的方法来求这个方程的整数解。先将方程变形为:

  8y=158-17x (2)

  8y=152+6-16x-x (3)

  由于152和16x均为8的倍数,因此6-x也应是8的倍数,x只能取6才有可能,用6代x从(2)中可算出y=7。

  故17米水管用了6根,8米水管用了7根。

  也可由方程(2)两端同除以8得

  

  

这种解法叫做整数离析法或整数分离法。

一、二元一次不定方程

  象上面讲到的17x+8y=158,这种方程中,有两个未知数,每个未知数的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。

  一般地,形如ax+by=c的方程,其中a、b、c为整数,且a、b均不为零,称为未知数x、y的二元一次不定方程,人们关心的常是求二元一次不定方程的整数或正整数解。

  对于上述方程,通常要考虑下面几个问题:

  1.a、b、c是什么样的整数时,方程有整数解或无整数解?

  2.如果有解,将有多少解?是否有解的统一表示办法?

  3.如何求出所有解?

  我们曾用整数离析法求出17x+8y=158的一组正整数解x=6,y=7。是否还有其它的正整数解呢?

  以上三个问题已全部解决,下面将通过例题把主要结论介绍给同学们。

  如求二元一次不定方程。

  3x+9y=23

  的整数解。

  容易看到等号左端当x、y为整数时,为3的倍数。但23却不是3的倍数,故左、右两端不可能相等,故方程无整数解。

  一般的,当(a,b)|c时,ax+by=c无整数解,理由是当x、y为整数时,左端为(a,b)的倍数,但右端却不是(a,b)的倍数,所以原方程无整数解。

  再看二元一次方程

  6x+9y=21

  由于(6,9)=3,而3|21,这种条件下,方程有无整数解呢?

  在方程两端同除以(6,9)=3,得

  2x+3y=7

  容易看出,x=2,y=1就是这个方程的一个解,由于知识的限制,现在所学的整数只有零和自然数。在此范围内,方程可能只有一个或几个解,甚至可能没有解,但如果数的范围加入了负整数,那么只要(a,b)|c,就一定有解。

  例如21x+18y=3这个方程中,(a,b)=(21,18)=3,(a,b)|c即(21,18)=3|3。

  方程可变为7x+6y=1,这个方程在零和自然数范围内无整数解,在中学学习了负数概念后,还可找到方程的整数解,在本讲中我们只讨论用小学知识可求解的题目,但给出的公式却具有一般性。

  在ax+by=c中,如(a,b)|c,那么在方程两端同除以(a,b)后得

  a1x+b1y=c1

  如x=x0,y=y0是a1x+b1y=c1的一组解,那么方程的所有解为

  

  其中t可取任意整数(包括负整数)

  这就是说,如能求出一组解x=x0,y=y0,就可直接写出方程a1x+b1y=c1的所有解。

  如求方程4x+3y=17的所有整数解。

  由于(4,3)=1,1|17。故这个方程肯定有整数解。

  容易看到x=2,y=3,是方程的一个解,那么4x+3y=17的所有解为

  

  t为任意整数。

  当t=0时的解即为x=2,y=3,但当t为正整数时,x为正整数,y却不是正整数了。

例1 大汽车能容纳54人,小汽车能容纳36人,现有378人要乘车,问要大、小汽车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满。

分析:设需大车x辆,小车y辆,可得方程

  54x+36y=378

  由(54,36)=18,18|378,原方程可化为

  3x+2y=21

  且一定有整数解。

  容易看到x=1,y=9就是3x+2y=21的整数解,那么,3x+2y=21的所有整数解为

  

  t为任意整数。

  3x+2y=21除t=0时,有整数解x=1,y=9之外,

  当t=1时,有整数解x=3,y=6。

  当t=2时,有整数解x=5,y=3。

  当t=3时,有整数解x=7,y=0。

  因此,可要大车1辆,小车9辆;或大车3辆,小车6辆;或大车5辆,小车3辆;也可只要7辆大车,不要小车,都能使378名乘客都上车且车都坐满。

  当t≤4时,由于y不再是0和正整数,从而使解失去实际意义。

例2 解不定方程

  31x+47y=265

  由于(31,47)=1,1|265,故方程肯定有整数解,但要想看出一组整数解,却并不容易,又不愿意让x依次取0,1,2,3,……设法求y的一个个对应值。

  让我们还是用整数分离法求方程的整数解。

  将原方程变形为:

  31x=265-47y

   

  

   

   

  

   

  将 k=16t-1代入(2)中,得

   y=1-2(16t-1)+t

  =1-32t+2+t

  =3-31t

  将k=16t-1,y=3-31t代入(1),得

  x=8-(3-31t)+16t-1

  x=47t+4

  即原方程解为

   

  其中t为任意整数。

  从上式可看出x=4,y=3为原方程的一组正整数解。

  

  y将得不到0或正整数,故x=4,y=3为唯一的一组正整数解。

例3解不定方程

  5x+7y=978(1)

  并求正整数解的个数。

解:由(5,7)=1,1|978,原方程有整数解。

  由(1)5x=978-7y

     

  

   

 

  2t=1-k

  k=1-2t

  将k=l-2t代入(3)得

  y=1-2(1-2t)+t

  y=5t-1

  将k=1-2代入(2)得

  x=195-(5t-1)+k

  x=195-(5t-1)+(1-2t)

  x=197-7t

  即(1)的解为

    

  t为任意整数。

  要求得正整数解,需要

    

  满足这个条件的整数t有1,2,3,……28,故原方程应有28组正整数解。

  如t=1时,x=190,y=4;

  t=2时,x=183,y=9

  …………………………

  t=28时,x=1,y=139

  从以上几例可知;二元一次不定方程的正整数解的组数多少并不固定。



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