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第18讲 包含排除原理


   作者:蓝忠诚 发表时间-21 :32:28  阅读( 18 )| 评论( 0 )

第18讲 包含排除原理

  我们通过第16讲的例2,已对包含排除有了初步认识。当需要计数的两类事物互相包含(有部分重复交叉)时,应把重复计数的部分排除掉。

  【例1】一个班有学生48人,每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项。已知参加跑步的有37人,参加跳高的有40人,问这两项比赛都参加的学生有多少人?

  【分析】两项比赛都参加的学生人数,就是参加跑步人数、参加跳高人数重复的部分,排除掉重复部分,所得的就是全体参赛人数,也就是全班学生人数。

  【解】设两项比赛都参加的有X人,那么

  (37+40)-X=48

   X=29

  想一想:如果全班有5人一项比赛都不参加,将会得出什么结果?

  一般地,假设具有性质A的事物(人)有XA个,具有性质B的事物(人)有XB个,既具有性质A,又具有性质B的事物(人)有XAB个,至少具有A、B中一种性质的事物(人)有X个,那么:

  X=(XA+XB)-XAB

  这个关系式可用图18-1来表示:

  这个示意图直观形象地揭示了包含排除原理,也为计算有些组合图形的面积提供了另一种思路。

  【例2】每边长是10厘米的正方形纸片中间挖掉一个小正方形后,成为一个宽度为1厘米的方框,把5个这样的方框放在桌面上(如图18-2)。桌面被这些方框所盖住的面积是____平方厘米。

  【分析】观察图18-2,可知重叠部分相当于8个边长1厘米的正方形。

  【解】(102-82)×5-12×8=172(平方厘米)

  【例3】在一根长木棍上,有三种刻度线,它们分别将木棍分成10等分、12等分、15等分。如果沿每条刻度线把木棍锯断,木棍总共被锯成多少段?

  【分析】由于木棍的端点处没有刻度线,所以,这三种刻度线分别有10-1=9(条),12-1=11(条),15-1=14(条),不妨设木棍长为60厘米。那么,与三种刻度线相对应的每一份长分别是:60÷10=6(厘米),60÷12=5(厘米),60÷15=4(厘米)。根据5和6的最小公倍数是30,可算出第一、第二种刻度线重复的条数是60÷30-1=1(条),另两种重复的刻度线分别有2条、4条。

  【解】(9+11+14-1-2-4)+1=28(段)

  想一想:(1)在计算刻度线条数时为什么都要减去1?(2)为什么可设木棍长是60厘米?(3)最后为什么要用所有刻度线条数加1?

  教练员提示语

  理解和运用包含排除原理最好应画出示意图,从图上分析数量关系,而不要死记公式。

  当所要计数的事物(人)可按三种性质A、B、C来分类时,包含排除原理可表示为:

  X=(XA+XB+XC)-(XAB+XBC+XAC)+XABC

  这个关系式也可借助示意图来理解。



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