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第22讲 最大最小问题(1)


   作者:蓝忠诚 发表时间-20 :49:10  阅读( 26 )| 评论( 0 )

第22讲 最大最小问题(1)

  最大最小问题的特点是涉及到的知识多,灵活性强,解题时要善于综合运用各种知识。

  【例1】如图22-1,有两条垂直相交的线段AB、CD,交点为E。已知DE=2CE,BE=3AE。在AB和CD上取3个点画三角形。问:怎样取这三个点,画出的三角形面积最大?

  【分析】我们知道,位于同一条线段上的三个点不能组成三角形。因此,所选的三个点中,一定有两点在一条线段上,第三点在另一条线段上,不难看出,当在AB上选两点、在CD上选一点时,面积最大的是三角形ABD(因为ED>EC);当在CD上选两点,在AB上选一点时,面积最大的是三角形CDB(因为BE>AE)。下面只要比较三角形ABD和三角形CDB面积的大小。

   

  通过比较可知,S△CDB>S△ABD。取B、C、D三点画出的三角形面积最大。

  【例2】一次数学考试的满分是100分,6位同学在这次考试中平均得分是91分,这6位同学的得分互不相同,其中有一位同学仅得65分。那么,得分排在第三名的同学至少得多少分?

  【分析】除其中一人得的65分,其余5位同学的总得分是91×6-65=481(分)。根据“第三名得分=481-其余4位同学得分”这个关系可知,要使排第三名的同学得分“至少”(尽可能少),就要使其他四人得分尽可能多,也就是说,第一名、第二名得分要尽可能高(分别得100分和99分),而且另两人的得分又要尽可能与第三名接近。

  【解】(91×6-65-100-99)÷3=94

  平均数为94而且又最接近的互不相等的三个数为93,94,95。所以,排在第三名的同学至少得95分。

  【例3】(1)把17分成两个自然数的和,使得它们的乘积最大,应该怎样分?(2)把17分成几个自然数的和,再求这几个自然数的乘积,问应怎样分,才能使所得的乘积最大?

  【分析】(1)把一个自然数分成两个自然数的和,要这两个自然数乘积最大,必须它们的差最小。因而可将17分成8与9的和。

  (2)把17分成若干个自然数的和,要使这些自然数的积最大,其中当然不能含有1(1乘以任何数以后该数并不变大)。应该至少是2。如果其中有3个是2。由于

  2+2+2=3+3

  而 2×2×2<3×3

  所以把其中的3个2换成2个3,并不改变这些数的和,但可以使乘积变大。所以其中2的个数最多是2个。

  如果其中有4,那么它也可以换成两个2。

  如果其中有大于4的自然数,那么仿照(1)的分法,将它分成两个小的数之和以后,总可以使这些自然数乘积变大。所以,所分的加数都应小于5。

  这样,我们就可以将17分成3+3+3+3+3+2对应的最大乘积为

  3×3×3×3×3×2=486。

  【解】17=8+9

   17=3+3+3+3+3+2。

  教练员提示语

  分析、解答最大最小问题的基本方法是比较,通过比较得出最大(最小)。但这种方法通常只适用于有限的情形。当所讨论的量取值很多时,应着眼于极端情形,并通过分析,得出取极端值的条件。如例2中的“要使……就要使……”这样的分析就是为了使问题更加具体明确。



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