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第23讲 最大最小问题(2)


   作者:蓝忠诚 发表时间-19 :41:30  阅读( 27 )| 评论( 0 )

第23讲 最大最小问题(2)

  上一讲我们提到了“着眼于极端情形”的思路,下面再举个例子加以说明。

  【例1】一把钥匙开一把锁,现有4把钥匙4把锁,但不知道哪把钥匙开哪把锁,最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁?

  【分析】这里的“最多”,意思是“最不凑巧”,因为在最不凑巧的情况下试的次数才最多。开第一把锁,最多要试3次,如果3把钥匙都试过了,第4把就不必再试了,一定能打开这把锁。同样道理,可知开第二把、第三把、第四把锁分别试2次、1次、0次。

  【解】3+2+1=6(次)

  分析、解答最大最小问题,还应当充分运用一些取得极端值的结论。

  【例2】如图23-1,正方体木块粘在一块木板上,一只蚂蚁从A点先爬到棱线CD上,再爬到B点,请你画出蚂蚁爬行的最短路线。如果这只蚂蚁从A点爬到F点,它所能爬行的最短路线有哪几条呢?

  【分析】对于前一个问题,我们以正方体的棱长DC为对称轴,作B点的对称点B’(图23-2)。

  假设蚂蚁先爬到棱线上的一点为E,而AB’与DC的交点为F。要使爬行路线最短,就要使AE+BE最短。根据对称性可知,BF=B’F。再由“两点的连线中线段最短”,可知AF+FB’<AE+EB’。就是说,当E点与F点重合时,AE+BE最短。

  【解】最短路线A→F→B。

  对于后一个问题,我们留给读者思考[提示,要画展开图]。

  【例3】有一农户利用一堵墙用篱笆围一个长方形的鸭圈,篱笆长度只有24米,怎样围面积最大?

  【分析】不妨假想在墙的另一侧也围出了一个长方形的鸭圈A’B’CD,它与长方形ABCD关于墙对称(如图23-3)。如果大长方形A’B’BA面积最大,它的一半面积也最大。

  【解】当AB=2BC时,面积最大,这时AB=12米,AD=BC=6米。

  教练员提示语

  以下的结论,对于我们解答最大最小问题很有帮助。(1)连接两点的线中,线段最短;(2)几个大于0的数,如果它们的和一定,那么,当它们都相等时,乘积最大;(3)n个大于0的数,如果它们的连乘积一定,那么,当它们都相等时,和最小。

  另外,解最大最小问题有时还需要运用“作对称点”,“画出展开图”等辅助方法。



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