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第28讲 抽屉原理


   作者:蓝忠诚 发表时间-8 :26:41  阅读( 13 )| 评论( 0 )

第28讲 抽屉原理

  把4只苹果放到3个抽屉里去,共有4种放法(请小朋友们自己列举),不论如何放,必有一个抽屉里至少放进两个苹果。

  同样,把5只苹果放到4个抽屉里去,必有一个抽屉里至少放进两个苹果。

  ……

  更进一步,我们能够得出这样的结论:把n+1只苹果放到n个抽屉里去,那么必定有一个抽屉里至少放进两个苹果。这个结论,通常被称为抽屉原理。

  利用抽屉原理,可以说明(证明)许多有趣的现象或结论。不过,抽屉原理不是拿来就能用的,关键是要应用所学的数学知识去寻找“抽屉”,制造“抽屉”,弄清应当把什么看作“抽屉”,把什么看作“苹果”。

  【例1】一个小组共有13名同学,其中至少有2名同学同一个月过生日。为什么?

  【分析】每年里共有12个月,任何一个人的生日,一定在其中的某一个月。如果把这12个月看成12个“抽屉”,把13名同学的生日看成13只“苹果”,把13只苹果放进12个抽屉里,一定有一个抽屉里至少放2个苹果,也就是说,至少有2名同学在同一个月过生日。

  【例 2】任意4个自然数,其中至少有两个数的差是3的倍数。这是为什么?

  【分析与解】首先我们要弄清这样一条规律:如果两个自然数除以3的余数相同,那么这两个自然数的差是3的倍数。而任何一个自然数被3除的余数,或者是0,或者是1,或者是2,根据这三种情况,可以把自然数分成3类,这3种类型就是我们要制造的3个“抽屉”。我们把4个数看作“苹果”,根据抽屉原理,必定有一个抽屉里至少有2个数。换句话说,4个自然数分成3类,至少有两个是同一类。既然是同一类,那么这两个数被3除的余数就一定相同。所以,任意4个自然数,至少有2个自然数的差是3的倍数。

  想一想,例2中4改为7,3改为6,结论成立吗?

  【例3】有规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内,试问不论如何取,从箱中至少取出多少只就能保证有3双袜子(袜子无左、右之分)?

  【分析与解】试想一下,从箱中取出6只、9只袜子,能配成3双袜子吗?回答是否定的。

  按5种颜色制作5个抽屉,根据抽屉原理1,只要取出6只袜子就总有一只抽屉里装2只,这2只就可配成一双。拿走这一双,尚剩4只,如果再补进2只又成6只,再根据抽屉原理1,又可配成一双拿走。如果再补进2只,又可取得第3双。所以,至少要取6+2+2=10只袜子,就一定会配成3双。

  思考:1.能用抽屉原理2,直接得到结果吗?

  2.把题中的要求改为3双不同色袜子,至少应取出多少只?

  3.把题中的要求改为3双同色袜子,又如何?

  【例4】一个布袋中有35个同样大小的木球,其中白、黄、红三种颜色球各有10个,另外还有3个蓝色球、2个绿色球,试问一次至少取出多少个球,才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色的球?

  【分析与解】从最“不利”的取出情况入手。

  最不利的情况是首先取出的5个球中,有3个是蓝色球、2个绿色球。

  接下来,把白、黄、红三色看作三个抽屉,由于这三种颜色球相等均超过4个,所以,根据抽屉原理2,只要取出的球数多于(4-1)×3=9个,即至少应取出10个球,就可以保证取出的球至少有4个是同一抽屉(同一颜色)里的球。

  故总共至少应取出10+5=15个球,才能符合要求。

  思考:把题中要求改为4个不同色,或者是两两同色,情形又如何?

  当我们遇到“判别具有某种事物的性质有没有,至少有几个”这样的问题时,想到它——抽屉原理,这是你的一条“决胜”之路。

  教练员提示语

  抽屉原理还可以反过来理解:假如把n+1个苹果放到n个抽屉里,放2个或2个以上苹果的抽屉一个也没有(与“必有一个抽屉放2个或2个以上的苹果”相反),那么,每个抽屉最多只放1个苹果,n个抽屉最多有n个苹果,与“n+1个苹果”的条件矛盾。

  运用抽屉原理的关键是“制造抽屉”。通常,可采用把n个“苹果”进行合理分类的方法来制造抽屉。比如,若干个同学可按出生的月份不同分为12类,自然数可按被3除所得余数分为3类等等。



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