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第29讲 对策问题


   作者:蓝忠诚 发表时间-8 :5:30  阅读( 15 )| 评论( 0 )

第29讲 对策问题

  许多同学都玩过“抢报30”的游戏。

  甲、乙两名同学从1到30轮流连续报数,谁先报到30这个数,谁就获胜。但是,有个规定:每人每次最多报三个数,至少报一个数,每人报的每个数不得与自己报过的或对方报过的重复,也不得跳过任何一个数,要想取胜,就必须先抢到30。要抢到30,又必须先抢到26,因为如果先抢到26,对方只能报27或报27、28或报27、28、29。

  如果对方报27,那么你就报28、29、30,获胜;

  如果对方报27、28,那么你就报29、30,获胜;

  如果对方报27、28、29,那么你就报30,获胜。

  同样道理,要抢到26,必须先抢到22,向前倒推,应依次先抢18、14、10、6、2,要先抢到2,必须先报(1、2),这样就一定能取胜了。这个游戏所反映的,就是个对策问题。

  【例1】有一筐苹果53个,甲乙两人轮流从中拿走1个或2个苹果,规定谁拿走最后1个苹果,谁获胜。如果甲先拿,那么他有没有必胜的策略。

  【分析与解】这与抢报30所采取的策略类似。甲要取胜,甲必须先拿到第53个苹果才行。依此向前倒推,甲要先拿第50个、第47个、第44个,……,第5个,第2个。

  【例2】有一个3×3的棋盘格以及9张大小为一个方格的卡片,9张卡片上分别写有1、3、4、5、6、7、8、9、10九个数。甲、乙两人做游戏,轮流取一张卡片放到九格中的一格,由甲方计算上、下两行六个数的和;乙方计算左、右两列六个数字的和,和数大的一方为胜,试问:先取的一方(甲方)一定能胜吗?

  【分析与解】由于四个角上的数都是两人共有的,因而和数的大小只与放在A、B、C、D这四格中的数有关。

  甲方要获胜,必须采取:(1)尽可能地将大数字填入A格或C格;(2)尽可能地将小的数字填入B格或D格。

  由于1+10<3+9,甲应先将1放进B格。接下来,如果乙把10放进D格,甲再把9放进A格。这时不论乙怎么放,C格中一定放有大于或等于3的数,因而甲方一定获胜;如果乙把3放进A格,甲方只需将9放进C格,甲方也一定获胜。

  【例3】有九张卡片,分别写着1、2、3、4、5、6、7、8、9。甲、乙两人轮流取1张,谁手上的三张卡片数字加起来等于15,谁就取胜。问保证不败的对策是什么?

  【分析与解】从1、2、……8、9中选三个数,使得和为15,有如下八组:①1、5、9;②2、4、9;③2、5、8;④2、6、7;⑤3、4、8;⑥3、5、7;⑦4、5、6;⑧1、6、8。

  每个人要保证不败,就应使对方不能获胜,选数的原则应该是:

  (1)使自己所占的可能性尽量多;

  (2)尽量破坏对方取胜的可能性。

  从上面八组数中看出:数字“5”在8组数中出现的次数最多(共4次),所以谁先选5,谁就比较占优势。不妨假设甲先取5。对于乙来说,他只剩下2、4、9;2、6、7;3、4、8;1、6、8这四种可能,为了使自己组成15的可能性尽可能大,乙应取2(或4、6、8)。接着又轮到甲取了,一方面,他既要破坏乙的可能性,又要使自己尽快达到15,所以应取4或6。如果甲取4,甲已取两数之和是5+4=9。这时,甲只要再取6就获胜了。为了破坏甲取胜,乙就应接着取6,这样,乙已取两数之和就是2+6=8,乙只要再取7就会获胜。所以,第三次甲应该取7,就彻底破坏了乙取胜的可能,上面的过程就是甲保持不败的对策,其它情况类推。

  教练员提示语

  正确的对策,只能从具体的问题出发,经过认真的分析、推理,才能作出。

  解决对策问题(即得到一个必胜的策略),通常采用倒推法,也就是先假设结果是某方取胜,从结果出发向前推进,从而获得取胜的策略。



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