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第16讲枚举、归纳与猜想(之二归纳与猜想)


   作者:蓝忠诚 发表时间-9 :51:54  阅读( 13 )| 评论( 0 )

16枚举、归纳与猜想(之二归纳与猜想

二、归纳与猜想

  “猜想”是一种重要的思维方法,对于确定证明方向,发现新定理,都有重大意义。最著名的例子就是哥德巴赫猜想,1742年曾任中学教师的哥德巴赫和大数学家欧拉通过观察实例:

  6=3+3,8=3+5,10=3+7,12=5+7,

  14=3+11,16=3+13,18=7+11,…

  提出如下猜想:“任何大于或等于6的偶数,都可以表示成两个奇素数之和。”这就是闻名于世的哥德巴赫猜想,至今还没有给以逻辑证明,所以仍是一个猜想。二百多年以来,她像一颗璀璨夺目的明珠,吸引了无数数学家和数学爱好者为之奋斗。

  通过观察若干具体实例,发现存在于它们之中的某种似乎带规律性的东西,我们相信它具有普遍意义,对更多更一般的实例同样适用,从而把它当做一般规律或结论,这种发现规律或结论的方法就是归纳法。当然,归纳出来的规律或结论一般来说还只是一种猜想,它是否正确,还有待于进一步证明。

  例如,我们可能碰巧看到

  1+8+27+64=100,

  改变一下形式:

  13+23+33+43=102=(1+2+3+4)2

  这个形式很规则,这是偶然的,还是确有这样的规律?不妨再试验一下:

  13+23=9=32=(1+2)2

  13+23+33=36=62=(1+2+3)2

  再多一些数试验一下:

  13+23+33+43+53=225=152=(1+2+3+4+5)2

  于是猜想:

    

  又如,求凸n边形内角和。观察分析:

  三角形内角和为180°;

  四边形可分为2个三角形,故内角和为2×180°;

  五边形可分为3个三角形,故内角和为3×180°;

  归纳猜想:凸n边形的内角和为(n-2)×180°。

  7下面各列数都依照一定规律排列,在括号里填上适当的数:

  (1)1,5,9,13,17,();

  

  (4)32,31,16,26,(),(),4,16,2,11。

分析与解:要在括号里填上适当的数,必须正确地判断出每列数所依照的规律,为此必须进行仔细的观察和揣摩。

  (1)考察相邻两数的差:

  5-1=4,  9-5=4,

  13-9=4, 17-13=4。

  可见,相邻两数之差都是4。按此规律,括号里的数减去17等于4,所以应填入括号里的数是17+4=21。

  (2)像(1)那样考虑难以发现规律,改变一下角度,把各数改写为

  可以发现:

  

   

  (3)为探究规律,作适当变形:

  这样一来,分子部分呈现规律:自3起,依次递增2,故括号内的数的分子为13。再看分母部分:4,8,14,22,32。相邻两数之差得4,6,8,10。可见括号内的数的分母应为32+12=44。

  

  (4)分成两列数:奇数位的数为

    32,16,(),4,2。

  可见前面括号中应填入8;偶数位的数为

    31,26,(),16,11。

  括号中的数应填入21。所以,两括号内依次填入8,21。

  说明:从上面例子可以看到,观察时不可把眼光停留在某一点上固定不变,而要注意根据问题特点不断调整自己观察的角度,以利于观察出有一定隐蔽性的内在规律。

  8下面是七个分数:

  先约分,请你再划去一个与众不同的数,然后按照一定的规律将余下的六个数排列起来,并按你的规律接下去写出第七个数。

  分析:约分是容易的,除其中一个数外,另外六个数必有联系。

  解:已给分数经约分后是

 

  说明:这个题目里给出了解题的操作指示,即化简、按规律分类、排序、添加新数,做起来感觉很顺利、轻松。做完题后体会一下命题者的用意,他是想让学生了解和学会怎样归纳和猜测。在许多问题中,各元素从表面上看没什么联系,也看不出什么规律,这就需要我们像做约分那样透过表面看本质,扒掉“披在元素身上花花绿绿的外衣”,从而发现彼此间的共性和联系。这个题的命题者给出了一个做归纳和猜测的示范,应引起读者重视。

  9 将正方形纸片如下图所示由下往上对折,再由左向右对折,称为完成一次操作。按上述规则完成五次操作以后,剪去所得小正方形的左下角。问:当展开这张正方形纸片后,一共有多少个小洞孔?

  

  解:一次操作后,层数由1变为4,若剪去所得小正方形左下角,展开后只有1个小洞孔,恰是大正方形的中心。

  连续两次操作后,折纸层数为42,剪去所得小正方形左下角,展开后大正方形留有42-1=41=4(个)小洞孔。

  连续三次操作后,折纸层数为43,剪去所得小正方形左下角,展开后大正方形上留有43-1=42=16(个)小洞孔。

  ……

  按上述规律不难断定:

  连续五次操作后,折纸层数为45,剪去所得小正方形左下角,展开后大正方形纸片上共留有小洞孔

  45-1=44=256(个)。

  10将自然数排成如下的螺旋状:

  

  第一个拐弯处的数是2,第二个拐弯处的数是3,第20个及第25个拐弯处的数各是多少?

  解:由图可知,前几个拐弯处的数依次是

  2,3,5,7,10,13,17,21,26,…

  这是一个数列,题目要求找出它的第20项和第25项各是多少,因此要找出这个数列的规律。

  把数列的后一项减去前一项,得一新数列:

  1,2,2,3,3,4,4,5,5,…

  把原数列的第一项2添在新数列的前面,得到

  2,1,2,2,3,3,4,4,5,5,…

  于是,原数列的第n项an就等于上面数列的前n项和,即

  a1=2=1+1=2,

  a2=2+1=1+(1+1)=3,

  a3=2+1+2=1+(1+1+2)=5,

  a4=2+1+2+2=1+(1+1+2+2)=7,

  ……

  所以,第20个拐弯处的数是:

  a20=1+(1+1+2+2+3+3+4+4+…+10+10)

   =1+2×(1+2+…+10)=111。

  第25个拐弯处的数是:

  a25=1+(1+1+2+2+…+12+12+13)

   =111+2×(11+12)+13=170。

  说明:(1)这个数列的一般项可以写成第2n(偶数)项为

  a2n=1+2×(1+2+…+n)=1+n+n2

  第(2n+1)(奇数)项为

  a2n+1=1+2×(1+2+…+n)+(n+1)=2+2n+n2

  (2)寻找数列排列的规律,常用两种方法:一是考察数列的“项”与它所在的位置即“项数”之间的关系,一般的数列写作

  a1,a2,a3,…,an,…

  这里an是数列的“项”,n是“项数”。若能找到“项”与“项数”的关系,则知道了项数n,也就知道了项an。另一方法是研究相邻两项或几项的关系,这样,知道了最初的几项后,后面的项就可利用关系顺次写出来。

  11给出一个“三角形”的数表如下:

  

  此表构成的规则是:第一行是0,1,2,…,999,以后下一行的数是上一行相邻两数的和。问:第四行的数中能被999整除的数是什么?

  解:首先找出第四行数的构成规律。通过观察、分析,可以看出:第四行的任一个数都和第一行中相应的四个相邻的数有关,具体关系可以从下表看出:

    

  如果用an表示第四行的第n个数,那么an=8n+4。

  现在要找出an=8n+4=999k的an,显然k应是4的倍数。注意到第四行中最大的数是7980<999×8,所以k=4。由此求出第四行中能被999整除的数是999×4=3996,它是第四行的第(3996-4)÷8=499(项),即a499=3996。

  说明:本题通过观察、归纳找出第四行的构成规律,即第n个数的通项公式。当然通项公式也可以直接通过观察第四行各数的排列规律来发现,即把第四行的前后几个数算出来:

  12,20,28,36,…,7980。

  观察分析发现:后一个数都比前一个数多8,从而归纳出通项公式为:an=8n+4。

  12在平面上有n条直线,任何两条都不平行,并且任何三条都不交于同一点,这些直线能把平面分成几部分?

  解:设n条直线分平面为Sn部分,先实验观察特例有如下结果:

 

  n与Sn之间的关系不太明显,但Sn-Sn-1有如下关系:

 

  观察上表发现,当n≥2时,有

  Sn-Sn-1=n。

  因为在(n-1)条直线后添加第n条直线被原(n-1)条直线截得的n段中的任何一段都将它所在的原平面一分为二,相应地增加n部分,所以Sn=Sn-1+n,即Sn-Sn-1=n。从而

  S2-S1=2,S3-S2=3,S4-S3=4,…,Sn-Sn-1=n。

  将上面各式相加,得到

  Sn-S1=2+3+…+n,

  Sn=S1+2+3+…+n

   =2+2+3+…+n

   =1+(1+2+…+n)

   

  说明:Sn也可由如下观察发现。由上表知:

  S1=1+1,S2=1+1+2,S3=1+1+2+3,

  S4=1+1+2+3+4,

  依此类推,便可猜想到

    



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