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练习16 解答


   作者:蓝忠诚 发表时间-20 :38:31  阅读( 10 )| 评论( 0 )

练习16 解答

  1.1985。

  解:按从小到大无重复数字的四位数顺序,

  前两位数是13的有20个;

  前两位数是14的有20个;

  ……

  前两位数是19的有20个。

  即为1987,那么第119个数就是1985。

  

  提示:由(1)知分子是大于1,且小于20(因为分母是两位数)的质数。然后就分子为2,3,5,7,11,13,17,19逐一枚举,推出共有13个分数满足要求。

  3.945,105。

  解:因为945=33×5×7,要使它乘上一个数后成为平方数,必须使乘积中各质因数的个数成为偶数,所以,所乘的数必须是 3×5×7=105与另一平方数的乘积。因为

  105×12=105,105×22=620,105×32=945,

  所以,与945相乘得到平方数的三位数共有3个,最大的是945,最小的是105。

  4.B,C是老实人,A是骗子。

  解:假设C是骗子,那么,从C的说法断定A与C一样是骗子。这样,不管B是不是骗子,A的说法没错,应是老实人,产生矛盾。

  因此C是老实人。由C的说法断定A与C不一样,是骗子。再由A的说法,断定B不是骗子,是老实人。

  5.20000个,30200条。

  解:n=1时,直角三角形有2×12个,

  边数=2×1×(1+1)+12=5;

  n=2时,直角三角形有2×22个,

  边数=2×2×(2+1)22=16;

  n=3时,直角三角形有2×32个,

  边数=2×3×(3+1)+32=33。

  对一般的n,共分为2×n2个直角三角形,

  边数=2n(n+1)+n2

  所以n=100时,共分为2×1002=20000(个)直角三角形,共有2×100×(100+1)+1002=30200(条)边。

  6.(1)填表如下:

  (2)由该表可以看出,所给四个平面图的顶点数、边数及区域数之间有下述关系:

  4+3-6=1,8+5-12=1,

  6+4-9=1,10+6-15=1。

  所以,我们可以推断:任何平面图的顶点数、边数及区域数之间,都有下述关系:

  顶点数+区域数-边数=1。

  (3)由上面所给的关系,可知所求平面图的边数。

  边数=顶点数+区域数-1

  =999+999-1=1997。

  注:任何平面图的顶点数、区域数及边数都能满足我们所推断的关系。当然,平面图有许许多多,且千变万化,然而不管怎么变化,顶点数加区域数再减边数,最后的结果永远都等于1,这是不变的。因此,

  顶点数+区域数-边数

  就称为平面图的不变量(有时也称为平面图的欧拉数——以数学家欧拉的名字命名)。

  7.(1)2;(2)4。

  解:设an表示数列中的第n个数。

  (1)由an=an-1+an-2(n≥3)容易列出下表:

  观察上表可知,a1与a25,a2与a26除以6的余数分别相等,推知数列中的数被6除所得的余数,每隔24个数重复出现。

  因为999=24×41+15,所以a999与a15除以6的余数相同,即数列中第999个数被6除余数是2。

  (2)按规定分组后,前998组共有

  1+2+3+…+998=498501(个)

  数。第999组的各数为

  (a498501+1,a4985501+2,…,a4985501+999)。

  据上表可知,数列中连续的24个数之和被6除的余数就等于24个数分别被6除所得余数之和被6除所得的余数。容易求出,数列中连续的24个数之和除以6的余数为0。由999=24×41+15知,第999组中各数之和除以6的余数,等于第999组数中前15个或后15个数之和除以6的余数。因为第一个数是a498502,498502=24×20700+22,所以前15个数之和除以6的余数等于(a22+a23+a24+a1+a2+…+a12)除以6的余数,等于4。

  8.975。

  解:如果有2n个数,那么转一圈擦去一半,剩下2n-1个数,起始数还是1;再转一圈擦去剩下的一半,又剩下2n-2个数,起始数还是1……转了n圈后,就剩下一个数是1。

  如果有2n+d(d<2n)个数,那么当擦去d个数时,剩下2n个数,此时的第一个数是最后将剩下的数。因为擦去的第d个数是2d,所以2d+1就是最后剩下的整数。999=29+487,最后剩下的一个数是487×2+1=975。

 



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