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4月
27 2012
 

“统计与概率”内容变化及教学启示


   作者:高红妹 发表时间-19 :44:38  阅读( 219 )| 评论( 0 )

“统计与概率”内容变化及教学启示
作者:南京东方数学教育科学研究所 黄为良
“统计与概率”是实验稿所规定的小学数学课程内容之一。由于这部分内容与传统的“确定性数学”存在较大差异,部分教师对“统计与概率”的核心思想、统计与概率的联系和区别、课堂上应当突出的关键和重点,以及不同年级学生应当达到的理解深度和应用能力等问题,或多或少还存在一些困惑和认识上的分歧。为此,新标准对这部分内容做了较大的调整:一方面明确统计课程的核心是数据分析观念,强调义务教育阶段统计教学的关键在于使学生想到用数据、愿意亲近数据,初步培养通过数据来分析问题的习惯,在活动中逐步提高对随机现象的把握能力;另一方面,重新梳理、整合统计与概率的内容及相关教学要求,使得义务教育阶段三个学段的学习层次更加明确,从而有利于广大教师准确把握教学重点和关键。
    一、进一步明确和强调的内容


    实验稿在“前言”部分给出了各部分内容学习的关键词,也是相关内容中最为重要的核心。所谓核心,不是指具体的知识点,甚至不是指具体的知识本身,而是概括很多知识的共性所反映出来的思想和思维方式。[1]就统计而言,实验稿给出的关键词是“统计观念”,其内涵是:“能从统计的角度思考与数据信息有关的问题;能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程作出合理的决策,认识到统计对决策的作用;能对数据的来源、处理数据的方法,以及由此得到的结果进行合理的质疑。”容易看出,统计意识、统计过程、质疑评价是“统计观念”所关注的三个主要方面。相应地,新标准给出的统计学习的关键词是“数据分析观念”,其内涵是:“了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究,收集数据,通过分析作出判断,体会数据中蕴涵着信息;了解对于同样的数据可以有多种分析的方法,需要根据问题的背景选择合适的方法;通过数据分析体验随机性,一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同,另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。”


    “数据分析观念”与“统计观念”是既有联系又有区别的两个概念:它们的联系主要表现在对经历完整的统计过程,逐步培养运用统计方法分析和解决简单实际问题的重视上;区别在于,后者更加关注数据在统计活动中的基础地位、数据分析方法的特点,以及数据处理过程所蕴涵的更为一般的数学思想。


1.统计研究的基础是数据,统计就是通过数据来进行分析和推断的。


当今世界,人们在实际生活中所面临的数据越来越多,经济、科技、教育等各行各业中都存在大量需要通过数据分析来获取信息、作出决策的例子。因此,必须树立利用数据的意识,掌握一些分析数据的方法和模型。所谓数据,是指用来描述对客观事物观察测量结果的数值。当我们对某个随机变量(比如某个年龄的学生身高)进行观测时,事先不能预料会取到谁的身高,而一旦某位同学被抽取到,就称这个人的身高数值为这个随机变量(身高)的一个观测值,即数据。[2]广义地讲,数据不仅指具有现实背景的数,也包括图和语句。比如,网络中的搜索引擎就是用统计方法进行语句检索的,此时统计所处理的数据就是语句。[3]


作为统计研究基础的数据,往往具有随机性的特点。这种随机性主要有两层涵义:一方面,对于同样的事情,每次收集到的数据可能是不同的;另一方面,有足够的数据就可能从中发现规律。例如,记录某位同学每天的上学时间,每天得到的数据可能是不一样的,事先无法确定;但只要记录的数据足够多,就可以从中发现一些确定的信息,比如该同学每天上学时间大约是多少等。


构成数据随机性的原因主要有两个:一是数据的抽样过程。首先抽样方法本身通常是随机的,因为按随机性原则抽取的样本,能够较好地排除人个主观的选择与成见,从而使得样本能够尽可能具有对总体的代表性;同时这种代表性也不是绝对的,相对于总体参数而言,它只是趋近于后者,而不可能完全等同于后者。其次,抽样过程中的数据本身也可能是随机的,特别是连续性数据的测量,由于测量工具、观察者角度、测量时间等各种各样的原因,每次测量的结果事实上都会存在误差,也就是存在一定的随机性。二是由部分推断总体的过程。统计推断不同于演绎推理,它总是归纳性的,其结论永远带有一定的或然性,不一定准确无误,甚至有可能是错误的。好的统计方法能够保证这种出错的可能性较小。


在以往的课堂教学中,我们更多关注的是概率事件的随机性,而上述“数据随机性”则主要表现在统计活动过程中。换句话说,引导学生在统计活动过程中体会随机思想是“数据分析观念”的基本内涵之一,也是需要我们特别予以关注的一个重点。


2.数据分析的方法可以是多样的,不同方法没有对错之分,只有好坏之分。


    对不同数据分析方法的选择源自两个原因:一是因为对样本数据的不同理解;二是基于研究问题的目的和解决问题的需要。例如,对于两家公司最近五年出口贸易额的数据,我们既可以逐年比较它们的绝对数额,也可以逐个分析每家公司近五年出口贸易额的增长幅度。前者有利于我们了解每家公司的实力,后者则有利于我们掌握每家公司的发展潜力。又如,有两组同学的投篮成绩,一组是10人,另一组是8人。对这样的两组数据进行分析是否一定要采用平均数呢?结论自然不是肯定的:如果我们要比较这两组同学投篮的整体水平,可以取每组成绩的均值──成绩相对比较均衡用平均数,有极端数据也可用中位数;如果想从中选拔投篮水平高的选手,则可直接比较每组的最高成绩或前三名成绩,等等。这就是说,数据分析方法的选择应该依赖于研究问题的目的以及解决问题的实际需要。


    小学数学中对统计图形的选择以及根据统计图表中的数据回答不同的问题,事实上也可以看作是用不同方法对数据进行分析。同样的数据,希望研究的问题和获得的信息不同,所选择的数据分析方法自然也应有所区别。因为可以用各种方法对数据进行归纳整理、分析判断,所以得到的结论可能不同也就十分正常了。同时,十分重要的一点是,各种数据分析方法本身通常很难区分对错,能够区分的只是好与不好──如果能够客观地反映实际背景,这样的方法就是好的;反之,则是不好的。这也是统计与确定性数学内容十分重要的区别之一。


    3.统计体现了一种不同于确定性数学的思维方式,这种思维方式有助于培养学生的归纳能力和创新意识。


传统数学由于其所研究的问题本质上是确定性的,基础是定义和假设,遵循约定的原则进行严格的计算或者推理,因而更多体现的是演绎;统计所研究的问题本质上是随机的,是非确定性的,需要通过较多的数据进行推断,也就是通过个别来推断一般,因而更多体现的是归纳。[4]


统计活动中的归纳还有别于一般数学规律和公式的归纳过程:公式和规律往往是确定的,学生用于归纳的素材可以不同,但得到的结论一定是相同的;统计活动中的归纳往往需要从一堆杂乱无章的数据中提炼信息、把握规律,或者从样本出发推断整体,这个过程本身就具有诸多不确定性,所以得到的结论也就具有个性化特点。显而易见,经历统计活动中的归纳过程,既有助于学生真正获得属于自己的结论,同时也有助于培养他们初步学会用不确定的思维看待客观事物及其规律,知道世界上大部分事情都处于随机状态,它们是否发生以及怎样发生尽管不能完全确定,但也是有规律可循的。


    二、教学要求有所调整的内容


    新标准在进一步明确要把“数据分析观念”作为统计内容核心的基础上,又依据广泛调研的结果,针对教材实验过程出现的问题,重新梳理并整合了“统计与概率”的课程内容。就小学阶段而言,内容难度有所降低,容量有所减少,具体有以下几点:


    1.第一学段鼓励学生用自己的方式呈现数据整理的结果。


    这里所说的“学生自己的方式”,包括文字、图画和表格,但显然不是指规范的统计图表形式,如一格表示一个单位的条形图等。换句话说,只要学生能将数据整理的结果清楚地呈现出来,我们不仅无需提出“方式”上的要求,而且应该鼓励他们采取富有个性的不同方式。这样做的目的,一是为了避免学生把注意力过早集中于统计图表的认识和制作等技能的学习,从而影响对数据收集、整理和呈现等学习过程的兴趣;二是为了引导学生基于感兴趣的实际背景,从数据的角度发现问题、提出问题、讨论问题,从而体会数据是蕴涵信息的,现实生活中有很多问题可以通过收集数据,以及相应的分析和交流作出判断。


    2.对平均数的认识从第一学段移至第二学段,对中位数和众数的认识从第二学段移至第三学段。


    对第一学段的学生来说,他们在开展统计活动时,关注的重点通常是一组数据内部所蕴涵的各种信息,例如,一组数据中的最大值、最小值各是多少,最大值与最小值相差多少,哪个数值出现的次数最多,与学生自身有关的数据处于什么位置,等等。到了第二学段,学生则应该更多地学会把一组数据作为一个整体来看待,学会从整体上描述一组数据的特征,或把一组数据与另一组相关数据进行比较。而平均数、中位数和众数都是用来刻画一组数据整体水平的统计量,因此,在学生初步积累收集、整理和分析数据的活动经验之后,再安排平均数、中位数和众数的学习是较为恰当的。


    另一方面,尽管简单算术平均数的计算方法并不复杂,但真正理解它在数据处理过程中的意义和价值,恰当地使用平均数,却并不是一个容易达成的目标。尤其是,如果在学习平均数之后,接着安排中位数和众数的学习,就势必会涉及这三种统计量的比较和选择,即:平均数、中位数、众数之间到底有什么区别?在具体情境中到底选择哪种统计量更具有代表性?真正弄清这些问题,既需要对统计活动的现实背景以及相关问题的特点具有较为透彻的理解,而且还涉及函数概念以及相关的代数运算。所以,把中位数和众数的学习移至第三学段是较为务实的选择。


    3.降低了“可能性”的教学要求。


    统计和概率都是用来摹写、刻画随机现象的数学方法。所谓随机现象,是指结果与条件之间不存在必然联系的现象,即在一定条件下某种结果可能会发生,也可能不发生。尽管统计和概率都研究随机现象,而且从知识逻辑看,统计学的研究需要以概率论为基础,但从认知角度看,统计比概率更为具体,概念和定义也少得多,因而小学阶段通常以统计内容的学习为主。


    新标准在第一学段删除了可能性的教学要求,同时在第二学段只要求学生“通过实例感受简单的随机现象,能列出简单随机现象中所有可能发生的结果……感受随机现象中结果发生的可能性是有大小的,能对一些简单随机现象发生的可能性大小作出定性描述。”这里有两点需要特别加以关注:一是明确所涉及的随机现象仅限于简单随机事件,即所有可能发生的结果是有限的、每个结果发生的可能性亦是相同的;二是只要求对可能性大小作出定性描述,而不要求进行定量表达。显然,这些教学要求的调整,一方面是为了引导学生更多地关注试验、游戏等蕴涵随机现象的活动过程,在活动中逐步感受随机现象的特点,体会相应的思维方式,积累学习经验;另一方面,也是为了引导学生更多地学会从数据的角度看待可能性大小,知道有些事情需要通过调查去估计或推断,养成用数据分析问题的习惯,而不是急于从定义和假设出发进行概率计算。


    4.删除了“初步体会数据可能产生误导”的教学要求。


就一组数据而言,大部分情况下它们是符合或近似地符合正态分布的,但也有一些情况下数据的分布是偏态的,也就是存在极端数据。对于后一种情形,如果不加分析地采用某种统计量(如平均数)去表示它们的整体水平,则可能使人产生一种错觉,这就是所谓的“数据误导”。认识到数据有可能产生误导,就应根据数据特点和解决问题的需要去选择适当的统计量,以便更为客观地反映数据特点以及相关现象的本质。同时,也可以进一步考察一组数据的离散程度,通过计算极差、方差等使数据的特点从不同角度得以显现。显而易见,由于中位数、众数等知识的后移,对上述内容的认识和体会自然也不再适合放在第二学段。


三、几点教学启示


如前所述,小学生学习统计与概率,重要的不是制作统计图表、计算平均数,以及求某个简单随机事件发生的可能性大小,而是要发展数据分析观念,包括“养成通过数据来分析问题的习惯;初步建立随机的概念,学习如何去判断事情的主要因素”[5]。另一方面,培养学生的数据分析观念,关键应依赖于他们的经验,特别是他们亲身经历的经验。也就是说,让学生完整地经历收集数据、整理数据和分析数据的过程,逐步学会提出用数据表达的问题,通过收集、组织、展示数据以及选择和运用适当的方法分析数据,进而回答问题、作出判断、进行预测,是培养学生数据分析观念的基本途径。


1.基于解决问题的需要收集数据。


收集数据的主要目的是为了回答那些无法立即找到答案的问题。事实上,培养数据分析观念的首要方面就是引导学生有意识地从数据的角度思考有关问题,也就是当遇到有关问题时能够想到通过设计简单的数据收集计划来回答这些问题,从而体会数据是有用的,数据中往往蕴涵着我们想要的信息,数据能够帮助我们作出判断和决策。


考虑到不同年龄阶段学生生活经验和认知水平的差异,我们应该努力创设不同的情境,使学生有机会从这些情境中发现并主动提出一些需要借助数据来回答的问题,通过数据的收集、整理、展示和分析,获得自己想要了解的信息或使问题得到合乎情理的解释。对第一学段的学生来说,应侧重于引导他们提出一些与自身有关的趣味性问题,并使他们提出问题的自然倾向得到保护和延续。例如,喜欢的小动物,喜欢的运动项目,喜欢的饮料,喜欢的电视节目,作业本上小红花的数量,等。对第二学段学生来说,应引导他们更多地关注与学校、家庭、社区有关的现实问题,并把兴趣从自己的周边环境逐步转向其他情境,包括社会现象、自然现象以及其他学科中具有特定意义的问题。例如,自己家一周扔几个垃圾袋,同学们收看某个电视节目的情况,全班同学的身高体重情况,当地的气温变化情况,某种植物的生长情况,等。


在提出一个问题之后,还应适当帮助学生明确具体的数据收集方法。第一学段可重点引导学生通过举手数数、逐个询问、投票等方式获取数据。第二学段则应鼓励学生多开展一些实际调查或测量活动,可以是在课堂上能够完成的,也可以是需要花上一段时间才能完成的。此外,作为收集数据计划的一部分,还可提醒学生:要根据数据收集过程中出现的新情况,适当调整相关选项甚至是最初的问题;也要注意数据收集的一些具体环节,如提什么样的问题及向谁提问题,观察什么及什么时候观察,测量什么及怎样测量,等等。


2.用不同的方式整理和展示数据。


无论是调查、测量,还是试验,得到的数据通常都显得有些杂乱,此时就需要对这些原始数据进行必要的整理。整理数据在很多情况下并不仅仅是为了让自己更好地理解数据、获得信息,同时也是为了与别人进行交流,与别人分享对问题的理解,并引发对相关问题的讨论和思考,从而也就需要选择合适的方式进一步地展示数据。


整理数据的基本方法是分类。分类是需要标准的,不同标准下的分类结果往往是不同的,由此获得信息自然也会有所差异。就教学而言,一方面要注意引导学生从“呈现每个数据”逐步过渡到“分类呈现数据”,以及“按不同标准分类呈现数据”。例如,就“家里有几口人”这个问题,低年级可以要求学生用自己的方式呈现小组里每个同学家里的人数,此后可以逐步过渡到要求他们按“3人以下、3人及3人以上”的标准分类呈现全班同学家庭人口的情况;到了中年级,除了要求按家庭人口数进行分类之外,还可要求按“两代人、三代人、三代以上”这样的标准重新分类,从而进一步体会标准对于分类的意义。另一方面,要引导学生逐步学会自己给出标准,并注意标准自身的严谨性。这里,数据类型标准通常是比较容易理解的,但数据的数值范围标准则需要多一些指导。例如,就“喜欢的小动物”这个问题,学生通常不难给出标准;但如果进一步讨论“你家饲养某种小动物的情况”,那么大部分学生就会感到困难。此时要通过组织讨论,使他们认识到可以采用诸如“不养、养1只、养1只以上”这样标准去收集和整理数据。


至于数据的展示方式,一方面要鼓励学生用自己的方法去表达对相关数据信息的理解,另一方面也要通过合适的情境,使学生体会引入相关统计图表的必要性,并在统计图表的选择过程中不断把握各种统计图表的特点和作用,学会根据研究问题的需要合理选择恰当的数据展示方式。此外,还应适当引导学生从周围环境中了解各种富有特色的数据展示方式。


3.从不同的角度分析数据。


从不同角度分析数据,以便从数据中获得尽可能多的信息,并发现蕴涵其中的一些规律,是“数据分析观念”最为重要的内容之一。依据小学生的认知发展特点,一般认为,教师应着重从以下几个方面来引导学生从统计图表(包括各种“自己的方式”)中获取信息、作出估计或推断。


第一,要引导学生从只关心个别数据(尤其是极端数据)逐步过渡到关注一组数据的方方面面。例如,就全班同学身高情况这个问题,学生通常首先会关注这组数据中的最大值是多少、最小值的多少、最大值与最小值相差多少等问题。以此为基础,我们可以引导学生进一步讨论这组数据中每个高度段各有多少人,哪些高度段的人数较多,哪些高度段的人数较少,自己处于什么位置等问题,从而使他们初步体会分析数据的一些基本方法。


第二,要引导学生逐步意识到把一组数据看作一个整体是非常重要的。可以通过对两组相关数据的比较,使学生认识到要清楚地确定两组数据间的异同,仅靠说明每组数据中的最大值、最小值或数据分布情况是不够的,由此引入均值的概念;也可在讨论一组数据中的最大值、最小值以及全部数据的分布情况后,要求学生找出一个能够代表这组数据整体水平的数值,从而感受平均数提供的是什么样的信息,它在相应现实背景中究竟具有怎样的意义。


第三,要引导学生从关注“数据本身能够说明什么”逐步过渡到“基于数据进行一些有意义的推断”。例如,从自己班同学中超过一半的人有蛀牙,是否可以推出同年级其他班级同学,乃至全校所有同学的蛀牙情况?上面哪个判断要可靠一些?要使推断更加可靠可以怎样做?事实上,这样的推断或多或少已经涉及样本与总体的关系。尽管小学生不大可能也无需理解样本与总体等概念,但可以借此初步感受样本与总体的关系。如果我们能够在活动中适当组织一些如上的讨论,或者将从全班同学中获得的数据与更大范围的相关数据进行一些有意义的比较,相信学生对数据的理解将更加透彻,基于数据所进行的思考也将更加深入。


4.在数据分析的基础上估计可能性的大小。


我们知道,判断一个简单随机事件发生的可能性大小,通常有两种方法:一是列举出这个随机事件所有可能发生的结果,再根据这些结果作出判断。二是先进行试验,并记录由试验所产生的数据,再根据收集的数据去估计相关结果发生的可能性大小。事实上,上述第一种方法是基于定义和假设的概率计算,而第二种方法则是基于数据的统计推断。在第二种方法中,尽管每次摸出的球的颜色是不确定的,但是只要摸的次数足够多,我们就能从中发现一些规律,进而做出相应的估计和推断,而这些正是数据随机性特点的基本内涵。因此,这样一种“运用数据进行估计”的活动既有助于学生从不同角度丰富对统计与概率的认识,同时也有助于凸显随机思想。


此外,在上述摸球活动中,我们也可以适当组织学生讨论:要使估计的结果更准确,应该怎样做?通过讨论和相应的活动使他们进一步体会到:要使估计的结果更加准确,需要增加摸球的次数;摸球的次数越多,估计的结果就越准确。一般来说,这样的经历有助于学生进一步增强数据分析意识,提高运用数据分析和解决问题的自觉性。


 


参考文献:


[1][3] 史宁中,等.“数据分析观念”的内涵及教学建议[J] .课程·教材·教法,2008(6).


[2] 张奠宙,过伯祥.数学方法论稿[M].上海:上海教育出版社,2009.


[4][5] 史宁中,等.中小学统计及其课程教学设计[J].课程·教材·教法,2005(6).


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